équation fonctionnelle un peu particulière

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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équation fonctionnelle un peu particulière

Message par electronlibre » 07 janv. 2020 18:51

Bonsoir,
Je bloque sur cette question que j'ai trouvée :
Existe-t-il une fonction réelle f non identiquement nulle Cinfini telle que pour tout x réel,
f(x)+f'(x)+...=0 (la série des dérivées k-ièmes est nulle)
Si on demande à la convergence d'être uniforme, on trouve assez facilement que f=0 est la seule solution. Pour le cas de la convergence simple, ça ne me parait pas forcément vrai mais je n'arrive pas à construire de fonction qui tienne la route :?

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Re: équation fonctionnelle un peu particulière

Message par BobbyJoe » 08 janv. 2020 00:12

Il n'y a pas de contre-exemple à ton problème mais je ne connais pas de preuve qui soit contenue dans le programme de classe prépa (j'ai utilisé certains résultats "classiques" de topologie pour uniformiser le problème).

1) Soit $ $C>0.$ $

On introduit pour $N\in \mathbb{N},$ l'ensemble $$A_{N}=\{x\in \mathbb{R}\mbox{ }|\mbox{ } \forall l\geq N, \vert \sum_{k\geq l+1}f^{(k)}(x)\vert \leq C\}.$$
On remarque que $A_{N}$ est un fermé de $\mathbb{R}$ (utilise le fait suivant : $\forall l\geq N, \sum_{k=0}^{l}f^{(k)}(x)=-\sum_{k\geq l+1}f^{(k)}(x)$).
Or, par hypothèse, $\bigcup_{N\geq 0}A_{N}=\mathbb{R}.$ Ainsi, par le théorème de Baire (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... e_de_Baire), il existe un certain $N_{0}\in\mathbb{N}$ tel que $A_{N_{0}}$ soit d'intérieur non vide.
Quitte à translater, on peut supposer que $A_{N_{0}}$ contient un segment du type $[-\varepsilon,\varepsilon].$

2) Soit $x\in [-\varepsilon,\varepsilon].$
Par hypothèse, la série de fonctions $\sum_{k\geq 0}f^{(k)}$ , qui est uniformément bornée sur $[-\varepsilon,\varepsilon]$, converge simplement (vers $0$) sur ce même ensemble. On peut alors, en utilisant appliquant le théorème de convergence dominée, intégrer terme à terme la série pour avoir :
$$0=\int_{-\varepsilon}^{x}\left(\sum_{k\geq 0}f^{(k)}(t)\right)dt=\int_{-\varepsilon}^{x}f(t)dt+\sum_{k\geq0}\left(f^{(k)}(x)-f^{(k)}(-\varepsilon)\right)=\int_{-\varepsilon}^{x}f(t)dt.$$
Ainsi, en dérivant, $f$ est nulle sur $[-\varepsilon,\varepsilon].$

3) Une application itérée du théorème de Baire permet alors de montrer que $f$ est nulle sur un ensemble dense (et même un ouvert dense) de $\mathbb{R}$ (par le deuxième point).
Ainsi, par continuité, $f$ est nulle sur $\mathbb{R}.$

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Re: équation fonctionnelle un peu particulière

Message par electronlibre » 08 janv. 2020 09:22

Merci beaucoup, c'est l'argument du théorème de Baire qui m'avait échappé, enfin ce problème ne va plus me rendre fou :D C'est très joli en plus!

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