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Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé

Posté : 11 janv. 2020 19:12
par Poiloto4
Bonjour, je bloque sur un exercice :

Soit E l'ensemble des fonctions continues définies sur [0,1] à valeurs dans R et u(f) = f² de E vers E.
Montrer que si E est muni de la norme infinie au départ et à l'arrivée, alors u est continue en tout point.

J'essaye de prouver la définition de u est continue mais sans succés, quelqu'un aurait-il une indication ?

Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé

Posté : 11 janv. 2020 19:19
par Nabuco
Utilise le fait que u(f)-u(g)=f^2-g^2=(f-g)(f+g) et la caractérisation séquentielle de la continuité

Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé

Posté : 11 janv. 2020 20:18
par Poiloto4
Nabuco a écrit :
11 janv. 2020 19:19
Utilise le fait que u(f)-u(g)=f^2-g^2=(f-g)(f+g) et la caractérisation séquentielle de la continuité
J'y avais pensé mais ca ne ma rien donné, voici ce que j'ai écrit : ( je n'ai pas utilisé la définition séquentielle )

On pose f0(t) dans E

$ \forall \varepsilon > 0 $ , $ \exists \alpha > 0 $ , $ \forall f $ tel que $ \forall t \in [0,1] ,( \left | f(t)-f0(t) \right | < \alpha \Rightarrow \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \varepsilon ) $

Or $ \left | f(t)-f0(t)) \right |\left | f(t)+f0(t)) \right | = \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | $
donc $ \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \left | f(t)+f0(t)) \right |* \alpha $

Et avec $ \left | f(t) \right | < \alpha + \left |f0(t) \right | $

On a $ \left | f^{2}(t)-f0^{2}(t) \right | < \alpha ^{2} + 2\alpha\left \| f0(t)) \right \| < (\alpha +\left \| f0(t) \right \|)^{2} $

Donc je voulais poser $ \varepsilon = (\alpha +\left \| f0(t) \right \|)^{2} $ mais ca serait absurde car on aurait pas toujours $ \varepsilon > 0 $

Je vois donc pas quoi faire d'autre

Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé

Posté : 11 janv. 2020 23:11
par Nabuco
Une fois que tu as l inegalite avec alpha carré + 2 alpha norme de f0 tu peux t arrêter à priori tu as tout pour conclure. En effet si tu te donnes epsilon pour alpha très proche de 0 tu as exactement ce que tu veux

Re: Continuité d'une fonction définie sur un espace vectoriel normé

Posté : 12 janv. 2020 09:25
par Poiloto4
Nabuco a écrit :
11 janv. 2020 23:11
Une fois que tu as l inegalite avec alpha carré + 2 alpha norme de f0 tu peux t arrêter à priori tu as tout pour conclure. En effet si tu te donnes epsilon pour alpha très proche de 0 tu as exactement ce que tu veux
J'ai réussis, merci de ton aide :)