Probas urnes
Publié : 18 janv. 2020 07:08
Bonjour,
je sollicite votre aide dans l'exercice numéros 12 de ce document : http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/ProbaAgregEx.pdf
que je retranscris ici :
Une urne contient $n$ boules numérotées de 1 a $n .$ On tire plusieurs fois au hasard et avec remise une boule de l'urne. On arrête les tirages dés que le dernier numéro obtenu est supérieur ou égal au numéro obtenu lors du précédent tirage. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1. Déterminer $X(\Omega)$
2. a) Déterminer la probabilité des événements $(X \geq 2),(X \geq 3)$ et $(X=2)$
b) Pour tout $k \in X(\Omega),$ déterminer la probabilité de l'événement $(X \geq k)$
c) En déduire la loi et l'espérance de $X,$ puis la limite de cette dernière lorsque $n$ tend vers l'infini.
Pour la question 1 j'ai répondu [[2,n]]. pas de soucis ici.
2)a) je suis pas sure de ma réponse :
$ p(X \geq 2)=1 $ , on est certain qu'il va falloir faire au moins deux tirages.
pour $ (X \geq 3) $ l'autre je suis bloquée.
J'ai pensé qu'Il suffit de ne pas s’arrêter à deux tirages pour cela :
il faut déjà éviter de choisir 1 au premier.
-pour premier numéro on a $ n-1 $ choix correspondant à obtenir $ i\in [[2,n]] $
-pour le tirage deux il faut un nombre inférieur à celui obtenue au premier donc $ i-1 $ choix
ce qui me donne $ \frac{n-1}{n} \sum_{i=2}^{n} \frac{i-1}{n} $ le résultat que j'obtiens est illogique
je sollicite votre aide dans l'exercice numéros 12 de ce document : http://irem.univ-reunion.fr/IMG/pdf/ProbaAgregEx.pdf
que je retranscris ici :
Une urne contient $n$ boules numérotées de 1 a $n .$ On tire plusieurs fois au hasard et avec remise une boule de l'urne. On arrête les tirages dés que le dernier numéro obtenu est supérieur ou égal au numéro obtenu lors du précédent tirage. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1. Déterminer $X(\Omega)$
2. a) Déterminer la probabilité des événements $(X \geq 2),(X \geq 3)$ et $(X=2)$
b) Pour tout $k \in X(\Omega),$ déterminer la probabilité de l'événement $(X \geq k)$
c) En déduire la loi et l'espérance de $X,$ puis la limite de cette dernière lorsque $n$ tend vers l'infini.
Pour la question 1 j'ai répondu [[2,n]]. pas de soucis ici.
2)a) je suis pas sure de ma réponse :
$ p(X \geq 2)=1 $ , on est certain qu'il va falloir faire au moins deux tirages.
pour $ (X \geq 3) $ l'autre je suis bloquée.
J'ai pensé qu'Il suffit de ne pas s’arrêter à deux tirages pour cela :
il faut déjà éviter de choisir 1 au premier.
-pour premier numéro on a $ n-1 $ choix correspondant à obtenir $ i\in [[2,n]] $
-pour le tirage deux il faut un nombre inférieur à celui obtenue au premier donc $ i-1 $ choix
ce qui me donne $ \frac{n-1}{n} \sum_{i=2}^{n} \frac{i-1}{n} $ le résultat que j'obtiens est illogique