[torseur] Différence entre liste, ensemble...

[ProfDePrépa]

Bonjour,

je suis enseignent en SI, et je m'interroge sur la notation d'un torseur (cinématique par ex).

Quelle est la différence en math entre une liste et un ensemble ?

Quelle est la différence entre :

- des parenthèses (a,b)
pour noter une droite avec un point et un vecteur par exemple

- des accolades {a,b}
un ensemble ?

- une liste {a b
bon c'est pas facile à faire au clavier, c'est une accolade comme pour un système, par exemple avec deux équations

- est ce que les crochets existent en math ? [a,b]


D'autre part, je ne comprend pas pourquoi un torseur est un endomorphisme, puisque l'espace de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes. Par exemple, en mécanique, un torseur cinématique est une application qui relie un mouvement 2/1 à un champ de vecteur. (enfin je crois)


merci

[autobox]

- des parenthèses (a,b)

Au lieu d'écrire "$\forall a\in A, \forall b\in B", quand $B$ ne dépend pas de $A$, on écrit "$\forall (a,b)\in A\times B$". $A\times B$ est le produit cartésien des ensembles $A$ et $B$, c'est-à-dire l'ensemble des couples $(a,b)$ d'éléments de $A$ et $B$. En toute généralité, $(a,b)\neq (b,a)$.
Il existe d'autres manières d'accoupler des objets, mais c'est beaucoup, beaucoup plus abstrait (produit fibré, somme amalgamée, etc).

- des accolades {a,b}
un ensemble ?

Oui, {a,b} est l'ensemble à deux éléments a et b. On a bien {a,b} = {b,a}, puisque {b,a} est l'ensemble à deux éléments b et a, i.e l'ensemble à deux éléments a et b, i.e {a,b}.
Là encore, il existe d'autres théories des ensembles que celle dont tu as l'habitude, et aussi des multiensembles.

- une liste {a b
bon c'est pas facile à faire au clavier, c'est une accolade comme pour un système, par exemple avec deux équations

Et justement, en parlant de multiensembles, c'est ce qui se rapproche le plus des listes ou des arrays que tu manipules quand tu programmes.
L'ensemble {1,1,2} est l'ensemble à trois éléments 1,1, et 2, c'est-à-dire l'ensemble à deux éléments 1 et 2, c-à-d l'ensemble {1,2}
Dans une liste [1,1,2], chaque élément a une multiplicité (celle de 1 est 2, celle de 2 est 1). On peut si tu veux identifier [1,1,2] au multiensemble formé des trois éléments 1,1, et 2.
Ou encore, tu peux modéliser [1,1,2] comme étant l'ensemble {(1,0), (1,1), (2,0)}.
Bon, il faut faire gaffe au fait que quand tu programmes, tu accèdes aux éléments de ta liste avec un opérateur auquel tu fournis un index. Donc, formellement, on peut dire que considérer la liste L = [1,1,2] de cardinal 3 comme un objet mathématique, c'est en fait considérer une fonction f de {1,2,3} à valeurs dans l'ensemble à deux éléments {1,2}. L'opération L[ i] revient à calculer f(i+1).

- est ce que les crochets existent en math ? [a,b]

Oui, il existe de multiples usages pour les crochets, pour différentes choses. Par exemple :
- un intervalle [a,b] est l'ensemble des réels compris entre a et b les deux inclus
- le commutateur de deux éléments d'un groupe $x$ et $y$ est $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$
- plus généralement, on note $[\cdot,\cdot]$ le crochet d'une algèbre de Lie
- certains notent [x,y] le produit scalaire des vecteurs x et y
- tu as aussi la notation $[\![1,n]\!]$ pour $\{1,2,\cdots,n\}$
- ou bien encore $[r,\theta]$ pour distinguer les coordonnées polaires des coordonnées cartésiennes
- etc, y'a vraiment beaucoup d'usages

D'autre part, je ne comprend pas pourquoi un torseur est un endomorphisme, puisque l'espace de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes. Par exemple, en mécanique, un torseur cinématique est une application qui relie un mouvement 2/1 à un champ de vecteur. (enfin je crois)

Pour moi un torseur est tout simplement un champ de vecteurs équiprojectif, c'est-à-dire une application f d'espace de départ un espace vectoriel affine de dimension 3, à valeurs dans un espace affine muni d'un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ telle que
$\forall u, forall v, \langle f(u), \vec{uv}\rangle = \langle f(v), \vec{uv}\rangle$. (pour rappel, je note $v = u + \vec{uv}$)
Je pense que l'endomorphisme $h$ auquel tu fais allusion est celui tel que $f(v) = f(u) + h(\vec{uv})$ ?

[YS1]

Oui, {a,b} est l'ensemble à deux éléments a et b.

Attention, si a=b, {a, b} n'a qu'un seul élément.

Plus généralement, attention à bien distinguer la syntaxe (ce qu'on écrit, ce qu'on a le droit d'écrire) et la sémantique (ce que cela signifie). Le choix de la syntaxe pour écrire les ensembles, avec des accolades, est arbitraire. Bien sûr il faut le connaitre pour pouvoir lire ce qu'écrivent les autres et être compris d'eux, mais ce qui est important, c'est le concept d'ensemble (ou de liste, torseur, etc.).

Sinon, on risque de tomber dans le travers du sujet d'"informatique" des Mines de 2015, qui contenait la perle suivante : "une liste commence par un crochet et se termine par un crochet".

[fakbill]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_%C3%A9quiprojectif

[ProfDePrépa]

Ok merci de vos réponses.

Je me pose encore deux questions.

Quand on note un torseur, on note la résultante et le moment en un point. Est ce que ces deux vecteurs ont un ordre ? faut il alors les noter dans UNE accolade comme un systeme, ou DEUX accolades comme un ensemble ou autre ?

Je ne comprends pas en quoi un torseur est un endomorphisme. En quoi un espace qui contient des points est le meme qu'un espace qui contient des vecteurs... ce n'est pas évident pour moi.

Merci d'avance.

[autobox]

Pour la question sur les accolades, je ne sais pas trop.
Personne de ma connaissance n'utilise les torseurs en mathématiques pures

Concernant celle sur le lien entre espaces affines et espaces vectoriels, c'est normal que tu sois confus puisque ce n'est pas la même chose du tout ! En termes physiques, c'est un peu la différence entre dessiner une flèche (de la bonne longueur et dans le bon sens et la bonne direction) représentant le poids n'importe où sur un dessin, et dessiner ta flèche spécifiquement en un point d'application (centre de gravité, pour un solide). Dans le premier cas (espace vectoriel), ton vecteur existe intrinsèquement et ses coordonnées dans une base que tu auras choisie lui donnent sa longueur et son orientation. Dans le second (espace affine), non seulement tu as un vecteur qui existe, mais il n'existe qu'au point d'application de la force. Ailleurs ça n'a pas trop de sens.
Avec des mots, mais de manière fausse : espace vectoriel = {points}, espace affine = {vecteurs}.

Enfin, un torseur n'est pas à proprement parler un endomorphisme. C'est bien une fonction à valeurs dans un espace affine (en l'occurence, spécifiquement de R^3 dans R^3), mais rien n'indique qu'elle soit linéaire !
Par contre, le torseur est, en plus de ça, équiprojectif. Donc il induit un endomorphisme.
Wikipédia a un article à ce sujet, où l'existence de ce morphisme est prouvée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_%C3%A9quiprojectif.
Encore une fois, pour vulgariser, l'endomorphisme h "correspond" à un vecteur $ \vec{\Omega} $ tel que $ T(Q) = T(P) + \vec{\Omega}\wedge\vec{PQ} $. C'est une formule dont tu as l'habitude a priori ! J'utilise bien le verbre correspondre, pas le verbe être.