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Lors d'un exercice je me suis fait une petite remarque. La preuve n'est pas si clair à mes yeux.
Pensez vous que la fonction
$$
p \in [0;a] \rightarrow F_{B(n,p)}
$$
décroit pour un certain $a$ ? avec $F_{B(n,p)}$ la fonction de répartition de la loi binomiale de paramètres $n,p$.
Je dirais même pour $a = 1$ faut juste que j'arrive à majorer $(1-p)$ c'est problématique .
Décroissant ici veut dire :
$$
\forall t\in \mathbb{R}, p < p' \Rightarrow F_{B(n,p)}(t)\le F_{B(n,p')}(t)
$$
Sur wikipédia Loi binomiale les fonctions de répartitions ont bien l'air décroissante.
Mais il donne que deux exemples alors j'ai essayé de coder en python mais mon programme ne veut pas marcher. Quel indignité .
Code : Tout sélectionner
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special
import math
n = 50
def FB(n,p,k):
sum = 0
for i in range(k):
sum = sum + scipy.special.binom(n,i)*(p**(i))*((1-p)**(10-i))
return sum
p1 = 1/4
p2 = 1/3
p3 = 2/3
p4 = 3/4
p5 = 1/5
p6 = 4/5
plt.figure()
x = range(n)
zp1 = np.array(n)
for i in range(n):
zp2[i] = FB(n,p1,i)
plt.scatter(x,zp1)
zp2 = np.array(n)
for i in range(n):
zp2[i] = FB(n,p2,i)
plt.scatter(x,zp2)
plt.legend(numpoints=1)
plt.show()