Probabilité binomial

[ROH2F(x)]

Bonjour à tous !
$ $
Lors d'un exercice je me suis fait une petite remarque. La preuve n'est pas si clair à mes yeux.
Pensez vous que la fonction
$$
p \in [0;a] \rightarrow F_{B(n,p)}
$$
décroit pour un certain $a$ ? avec $F_{B(n,p)}$ la fonction de répartition de la loi binomiale de paramètres $n,p$.
Je dirais même pour $a = 1$ faut juste que j'arrive à majorer $(1-p)$ c'est problématique .

Décroissant ici veut dire :
$$
\forall t\in \mathbb{R}, p < p' \Rightarrow F_{B(n,p)}(t)\le F_{B(n,p')}(t)
$$
Sur wikipédia Loi binomiale les fonctions de répartitions ont bien l'air décroissante.
Mais il donne que deux exemples alors j'ai essayé de coder en python mais mon programme ne veut pas marcher. Quel indignité .

Code : Tout sélectionner

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special
import math

   
n = 50
def FB(n,p,k):
    sum = 0
    for i in range(k):
        sum =  sum + scipy.special.binom(n,i)*(p**(i))*((1-p)**(10-i))
    return sum


p1 = 1/4
p2 = 1/3

p3 = 2/3
p4 = 3/4

p5 = 1/5
p6 = 4/5


plt.figure()
x = range(n)

zp1 = np.array(n)
for i in range(n):
    zp2[i] = FB(n,p1,i)
plt.scatter(x,zp1)
    
zp2 = np.array(n)
for i in range(n):
    zp2[i] = FB(n,p2,i)
plt.scatter(x,zp2)

plt.legend(numpoints=1)
plt.show()

[Nabuco]

Normalement tu peux utiliser une technique de couplage pour montrer cela : si tu as p<p', une loi binomiale B(n,p') c'est juste une somme $X_1+\dots +X_n$ de Bernoulli de paramètre $p'$. Si tu te donnes des $Y_1,\dots Y_n$ binomiale de paramètre $\frac{p}{p'}$ indépendantes et indépendantes des $Y_i$, montre que les $Z_iX_iY_i$ sont des Bernoulli de paramètre $p$. Ainsi la somme $Z_1+\dots +Z_n$ est une binomiale B(n,p) qui est toujours inférieure à la somme $X_1+\dots +X_n$, ce qui devrait te donner ce que tu veux pour la fonction de répartition.

[ROH2F(x)]

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Merci beaucoup, j'adore ce mot "couplage" ! Je l'ai déjà entendu je pense je ne sais plus où.
PS : C'est $Z_{i} = X_{i} Y_{i}$ je pense.