Limite MPSI
Limite MPSI
Bonjour, je bloque sur une limite depuis un certain temps, la voici :
[x*ln^2(x)]*[sin(1/ln(x))-sin(1/ln(x+1))]
En + l’infini.
J’ai essayé de passer par la formule sin(p)-sin(q), et de faire des DL dans tous les sens, mais rien n’y fait.
Merci de votre aide éventuelle
[x*ln^2(x)]*[sin(1/ln(x))-sin(1/ln(x+1))]
En + l’infini.
J’ai essayé de passer par la formule sin(p)-sin(q), et de faire des DL dans tous les sens, mais rien n’y fait.
Merci de votre aide éventuelle
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Limite MPSI
Pourtant tu devrais y arriver avec telle ou telle méthode que tu proposes.
Montre nous tes calculs si tu veux qu’on t’aide.
Montre nous tes calculs si tu veux qu’on t’aide.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Limite MPSI
En essayer de simplifier le membre de droite après qq DL, j’obtiens :
1/ln(x) - 1/ln(x+1) + o(1/ln(x))
Le problème c’est qu’en multipliant par le membre de gauche, on obtient du o(x*ln(x)), ce qui me semble n’être d’aucune aide.
Pour la formule trigo, en l’appliquant à nouveau pour simplifier le membre de droite, j’ai donc :
2*cos([ln(x+1)+ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])*sin([ln(x+1)-ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])
Et à partir de là, je ne vois pas trop quoi faire pour simplifier tout ça... en raisonnant sur les équivalents, je n’arrive pas à me débarrasser du cos.
1/ln(x) - 1/ln(x+1) + o(1/ln(x))
Le problème c’est qu’en multipliant par le membre de gauche, on obtient du o(x*ln(x)), ce qui me semble n’être d’aucune aide.
Pour la formule trigo, en l’appliquant à nouveau pour simplifier le membre de droite, j’ai donc :
2*cos([ln(x+1)+ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])*sin([ln(x+1)-ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])
Et à partir de là, je ne vois pas trop quoi faire pour simplifier tout ça... en raisonnant sur les équivalents, je n’arrive pas à me débarrasser du cos.
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Re: Limite MPSI
Ton cosinus tend vers 1 donc tu peux regarder la limite des autres facteurs.
Pour cela tu peux utiliser l'inégalité valable sur $ \mathbb{R^{+}}: x \ge \sin(x) \ge x-\frac{x^3}{6} $et conclure avec le théorème d'encadrement me semble-t-il.
Edit : Latex
Pour cela tu peux utiliser l'inégalité valable sur $ \mathbb{R^{+}}: x \ge \sin(x) \ge x-\frac{x^3}{6} $et conclure avec le théorème d'encadrement me semble-t-il.
Edit : Latex
Re: Limite MPSI
Pardon je raconte n'importe quoi même un développement limité à l'ordre 1 du sinus ça suffit ici bien entendu
Re: Limite MPSI
Ton cos tend vers 1Tamador195 a écrit : ↑08 mars 2020 17:57En essayer de simplifier le membre de droite après qq DL, j’obtiens :
1/ln(x) - 1/ln(x+1) + o(1/ln(x))
Le problème c’est qu’en multipliant par le membre de gauche, on obtient du o(x*ln(x)), ce qui me semble n’être d’aucune aide.
Pour la formule trigo, en l’appliquant à nouveau pour simplifier le membre de droite, j’ai donc :
2*cos([ln(x+1)+ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])*sin([ln(x+1)-ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])
Et à partir de là, je ne vois pas trop quoi faire pour simplifier tout ça... en raisonnant sur les équivalents, je n’arrive pas à me débarrasser du cos.
Ton sinus est le sinus d’une quantité qui tend vers 0 donc tu peux utiliser un equivalent simple usuel.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Limite MPSI
$ $
@Inversion : Je suis d'accord d'un DL permet de montrer que
$$
\sin\left(\frac{1}{\log(x)} \right) - \sin \left( \frac{1}{\log(x+1)} \right)
$$
converge vers $0$ quand $x \rightarrow +\infty$.
Mais après on a une forme indéterminé $+\infty \times 0$. Donc on a pas tout à fait fini.
@Inversion : Je suis d'accord d'un DL permet de montrer que
$$
\sin\left(\frac{1}{\log(x)} \right) - \sin \left( \frac{1}{\log(x+1)} \right)
$$
converge vers $0$ quand $x \rightarrow +\infty$.
Mais après on a une forme indéterminé $+\infty \times 0$. Donc on a pas tout à fait fini.
Re: Limite MPSI
Merci beaucoup pour votre aide ! j’ai fini par trouver (la réponse est 1)
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Re: Limite MPSI
@ROH2F(x) Non mais je voulais dire tu fais un DL après avoir utilisé la formule de Simpson bien sûr mais du coup c'est vrai que ça revient juste à regarder l'équivalent comme jeanN l'a dit juste après, c'est strictement la même chose