Limite MPSI

[Tamador195]

Bonjour, je bloque sur une limite depuis un certain temps, la voici :

[x*ln^2(x)]*[sin(1/ln(x))-sin(1/ln(x+1))]
En + l’infini.

J’ai essayé de passer par la formule sin(p)-sin(q), et de faire des DL dans tous les sens, mais rien n’y fait.

Merci de votre aide éventuelle

[JeanN]

Pourtant tu devrais y arriver avec telle ou telle méthode que tu proposes.
Montre nous tes calculs si tu veux qu’on t’aide.

[Tamador195]

En essayer de simplifier le membre de droite après qq DL, j’obtiens :

1/ln(x) - 1/ln(x+1) + o(1/ln(x))

Le problème c’est qu’en multipliant par le membre de gauche, on obtient du o(x*ln(x)), ce qui me semble n’être d’aucune aide.

Pour la formule trigo, en l’appliquant à nouveau pour simplifier le membre de droite, j’ai donc :

2*cos([ln(x+1)+ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])*sin([ln(x+1)-ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])

Et à partir de là, je ne vois pas trop quoi faire pour simplifier tout ça... en raisonnant sur les équivalents, je n’arrive pas à me débarrasser du cos.

[Inversion]

Ton cosinus tend vers 1 donc tu peux regarder la limite des autres facteurs.

Pour cela tu peux utiliser l'inégalité valable sur $ \mathbb{R^{+}}: x \ge \sin(x) \ge x-\frac{x^3}{6} $et conclure avec le théorème d'encadrement me semble-t-il.

Edit : Latex

[Inversion]

Pardon je raconte n'importe quoi même un développement limité à l'ordre 1 du sinus ça suffit ici bien entendu

[JeanN]

En essayer de simplifier le membre de droite après qq DL, j’obtiens :

1/ln(x) - 1/ln(x+1) + o(1/ln(x))

Le problème c’est qu’en multipliant par le membre de gauche, on obtient du o(x*ln(x)), ce qui me semble n’être d’aucune aide.

Pour la formule trigo, en l’appliquant à nouveau pour simplifier le membre de droite, j’ai donc :

2*cos([ln(x+1)+ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])*sin([ln(x+1)-ln(x)]/[2*ln(x)*ln(x+1)])

Et à partir de là, je ne vois pas trop quoi faire pour simplifier tout ça... en raisonnant sur les équivalents, je n’arrive pas à me débarrasser du cos.

Ton cos tend vers 1
Ton sinus est le sinus d’une quantité qui tend vers 0 donc tu peux utiliser un equivalent simple usuel.

[ROH2F(x)]

$ $
@Inversion : Je suis d'accord d'un DL permet de montrer que
$$
\sin\left(\frac{1}{\log(x)} \right) - \sin \left( \frac{1}{\log(x+1)} \right)
$$
converge vers $0$ quand $x \rightarrow +\infty$.
Mais après on a une forme indéterminé $+\infty \times 0$. Donc on a pas tout à fait fini.

[Tamador195]

Merci beaucoup pour votre aide ! j’ai fini par trouver (la réponse est 1)

[Inversion]

@ROH2F(x) Non mais je voulais dire tu fais un DL après avoir utilisé la formule de Simpson bien sûr mais du coup c'est vrai que ça revient juste à regarder l'équivalent comme jeanN l'a dit juste après, c'est strictement la même chose