Bonjour,
Je bloque sur l'exercice suivant:
$ \forall n,u_{n+2}\leq\dfrac{u_n+u_{n+1}}2 $
Avec $ (un) $ définie positive. Il s'agit de montrer qu'elle converge.
En considérant la suite $ max(u_n, u_{n+1}) $ qui converge, peut on espérer aboutir ?
Et sinon, j'aimerai aussi résoudre
$ \forall a, b, u_{a+b} \leq u_a+u_b $
Cette fois il s'agit de monter que $ v_n=\dfrac{u_n} n $ 'converge' vers sa borne inférieure (éventuellement$ -\infty $).
Tout ce que j'ai c'est que $ u_n\leq n u_1 $ et j'essaye vainement de montrer $ v_n $ décroissante...
Merci d'avance!
Difficulté sur deux suites
Difficulté sur deux suites
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon
Re: Difficulté sur deux suites
Exo1 :
Oui, ça va bien fonctionner.
Tu peux par exemple démontrer par retour à la définition que (u_n) converge vers la même limite que la limite de la suite $max(u_n, u_{n+1})$
Exo2 :
Retour à la définition nécessaire également. On note i la borne inf.
Tu fixe eps>0, tu choisis N tel que $u_N/N<i+eps/2$
Ensuite, tu prends $n>N$, tu fais la division euclidienne de n par N et tu cherches à majorer par $i+eps/2$+ une suite qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Il ne te restera plus qu'à conclure à la manière de Césaro.
Oui, ça va bien fonctionner.
Tu peux par exemple démontrer par retour à la définition que (u_n) converge vers la même limite que la limite de la suite $max(u_n, u_{n+1})$
Exo2 :
Retour à la définition nécessaire également. On note i la borne inf.
Tu fixe eps>0, tu choisis N tel que $u_N/N<i+eps/2$
Ensuite, tu prends $n>N$, tu fais la division euclidienne de n par N et tu cherches à majorer par $i+eps/2$+ une suite qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Il ne te restera plus qu'à conclure à la manière de Césaro.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Difficulté sur deux suites
D'abord merci !
Donc pour l'exo 1 je fixe $ \epsilon>0 $. A partir de $ N, max(u_n, u_{n+1}) \in[l-\epsilon,l+\epsilon] $.
Supposons il existe $n>N, u_n \not \in [l-\epsilon, l+\epsilon] $
On a donc $u_n<l-\epsilon$ or $u_{n-1}<l+\epsilon$ donc $u_{n+1}<l$ ce qui est absurde car $l$ ne majore ni $u_n$ ni $u_{n+1}$ donc pas leur max alors que la suite décroît donc est minorée par $l$.
Edit ; j'ai corrigé.
Pour l'exo 2
Du coup en notant $N<n=qN+r, r<N$
On a $\dfrac{u_n} n\leq \dfrac{q u_N}n+\dfrac{u_r} n\leq\dfrac{u_N}N\dfrac{qN} {qN+r} +\dfrac{u_r}n$
Or $u_r$ borné donc en divisant par $n$ ça tend vers $0$. Et $\dfrac {qN} {qN+r} $ tend vers $1$
Donc $\dfrac{u_n} n\leq i+3\epsilon$ a partir d'un certain rang.
Donc pour l'exo 1 je fixe $ \epsilon>0 $. A partir de $ N, max(u_n, u_{n+1}) \in[l-\epsilon,l+\epsilon] $.
Supposons il existe $n>N, u_n \not \in [l-\epsilon, l+\epsilon] $
On a donc $u_n<l-\epsilon$ or $u_{n-1}<l+\epsilon$ donc $u_{n+1}<l$ ce qui est absurde car $l$ ne majore ni $u_n$ ni $u_{n+1}$ donc pas leur max alors que la suite décroît donc est minorée par $l$.
Edit ; j'ai corrigé.
Pour l'exo 2
Du coup en notant $N<n=qN+r, r<N$
On a $\dfrac{u_n} n\leq \dfrac{q u_N}n+\dfrac{u_r} n\leq\dfrac{u_N}N\dfrac{qN} {qN+r} +\dfrac{u_r}n$
Or $u_r$ borné donc en divisant par $n$ ça tend vers $0$. Et $\dfrac {qN} {qN+r} $ tend vers $1$
Donc $\dfrac{u_n} n\leq i+3\epsilon$ a partir d'un certain rang.
Dernière modification par Mourien le 22 mars 2020 18:16, modifié 1 fois.
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon
Re: Difficulté sur deux suites
ok pour le premier exo
Pour le deuxième, il y a un petit bug dans la deuxième majoration (celle qui fait apparaitre i et eps)
Pour le deuxième, il y a un petit bug dans la deuxième majoration (celle qui fait apparaitre i et eps)
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Difficulté sur deux suites
Pour le premier exo tu supposes que le max converge ou tu le montres ?
Re: Difficulté sur deux suites
Il le montre en utilisant le théorème de limite monotone.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Difficulté sur deux suites
Ah oui je vois comment le prouver maintenant merci.