Bijection de N dans N

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Bijection de N dans N

Message par Lamlien » 27 mars 2020 12:27

Bonjour à tous,

Je me demandais simplement si pour toute bijection f de N dans N, les suites (f(n)) et (n) étaient équivalentes.

Je n'arrive ni à trouver de contre-exemple ni à le démontrer.

Merci d'avance pour toute réponse.

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Re: Bijection de N dans N

Message par U46406 » 27 mars 2020 12:55

Quelle est la définition de ce que sont les suites équivalentes ?
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Re: Bijection de N dans N

Message par Calli » 27 mars 2020 13:27

Bonjour,
Ces suites ne sont pas forcément équivalentes. Voici un exemple.
Tout entier $ n>0 $ s'écrit de façon unique sous la forme $2^{k_n} (2p_n+1)$ avec $k_n,p_n\in\Bbb N$. Posons $f(n) = 2^{p_n} (2k_n+1)$ (on intervertit $k_n$ et $p_n$). Alors $f $ est une bijection de $\Bbb N^*$ car elle est la composée $g \circ e\circ g^{-1}$ où $g: (k,p) \mapsto 2^k (2p+1)$, $g^{-1}: n \mapsto (k_n,p_n)$ et $e : (k,p)\mapsto (p,k)$ sont bijectives. On peut prolonger $f$ en une bijection de $\Bbb N$ en posant $f(0)=0$. Alors $f(2p+1) = 2^p$ qui n'est pas équivalent à $ 2p+1$.
Ce qui est vrai en revanche c'est que, si $\dfrac{f(n)}n$ a une limite, alors cette limite est $1$.

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Re: Bijection de N dans N

Message par GrosGillouDu92 » 27 mars 2020 15:35

U46406 a écrit :
27 mars 2020 12:55
Quelle est la définition de ce que sont les suites équivalentes ?
Colle de mathématiques, sup, semaine 14, U46406 , note = 0 / 20
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Re: Bijection de N dans N

Message par zede » 27 mars 2020 16:11

Ça valait bien le coup de sécher les 13 premières !

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