Equivalent du reste d'une intégrale

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Répondre
jd6

Messages : 15

Enregistré le : 02 juil. 2018 08:10

Classe : MP

Equivalent du reste d'une intégrale

Message par jd6 » 30 mars 2020 09:15

Bonjour,

Je bloque actuellement sur un exercice et j'aurais aimé avoir quelques indications.

Soit $ f $ une fonction continue par morceaux, décroissante et positive sur $ \mathbb{R}_{+} $, telle que $ f(t) \sim f(t+1) $ en l'infini. Trouver un équivalent de $ \int \limits _x ^{+\infty} f(t) e^{-t} \textrm{d}t $ en l'infini.

Pour l'instant, j'ai montré que la fonction admet une limite $ l $ en l'infini d'après le théorème de la limite monotone, et si cette limite est non nulle, on obtient facilement que l'équivalent est $ l e^{-x} $.
Toutefois, je ne vois pas comment exploiter la dernière hypothèse et traiter le cas où la limite est nulle. J'ai essayé d'intégrer la relation de comparaison (les restes car on est dans le cas convergent), mais je ne sais pas quelles transformations faire ensuite. Auriez-vous des pistes ?
J'ai également regardé sur des exemples tels que $ \frac{1}{t} $ ou $ e^{-t} $, mais je n'ai pas réussi à conjecturer une formule générale.

Merci beaucoup.

Messages : 5669

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par JeanN » 30 mars 2020 09:41

Déjà, exp(-t) ne vérifie par l'hypothèse.
Qu'as-tu trouvé pour 1/t ? pour 1/t^2 ? Pour 1/t^s ?
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

jd6

Messages : 15

Enregistré le : 02 juil. 2018 08:10

Classe : MP

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par jd6 » 30 mars 2020 10:02

En effet, je me suis trompé pour $ e^{-t} $.
J'avais trouvé en effectuant une intégration par parties pour $ \frac{1}{t^s} $ un équivalent simple qui est $ \frac{e^{-t}}{t^s} $, ce qui permet de conjecturer $ f(t)e^{-t} $. Toutefois, je ne vois pas comment généraliser le raisonnement.

Messages : 68

Enregistré le : 28 août 2019 22:46

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par Calli » 30 mars 2020 11:53

Bonjour,
Je vais raisonner informellement. On sait que si $x\gg 1$, alors $f(x+1) \approx f(x)$. Par décroissance de $f$, on en déduit que : $\forall t\in[x,x+1]$, $f(t) \approx f(x)$. Là j'ai fait un pas de 1, mais je pourrais faire un pas de 2 ou 3 ou plus en prenant $x$ assez grand. De plus, $e^{-t}$ décroit très vite. Tout cela encourage à couper l'intégrale $\int_x ^{+\infty} f(t) \,e^{-t}\, \textrm{d}t$ en deux : le début sur lequel $f(t)\approx f(x)$ et la queue sur laquelle $e^{-t}$ est très petit. Il reste à formaliser tout cela.

Messages : 5669

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par JeanN » 30 mars 2020 14:14

jd6 a écrit :
30 mars 2020 10:02
En effet, je me suis trompé pour $ e^{-t} $.
J'avais trouvé en effectuant une intégration par parties pour $ \frac{1}{t^s} $ un équivalent simple qui est $ \frac{e^{-t}}{t^s} $, ce qui permet de conjecturer $ f(t)e^{-t} $. Toutefois, je ne vois pas comment généraliser le raisonnement.
Conjecture : l'équivalent simple est $f(x)e^{-x}$
Pour le démontrer, tu peux faire un changement de variable $t=x+u$ puis utiliser le théorème de convergence dominée (traite le cas $f(x)>0$ pour tout x afin de pouvoir diviser par f(x)).
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

jd6

Messages : 15

Enregistré le : 02 juil. 2018 08:10

Classe : MP

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par jd6 » 30 mars 2020 16:09

JeanN a écrit :
30 mars 2020 14:14
jd6 a écrit :
30 mars 2020 10:02
En effet, je me suis trompé pour $ e^{-t} $.
J'avais trouvé en effectuant une intégration par parties pour $ \frac{1}{t^s} $ un équivalent simple qui est $ \frac{e^{-t}}{t^s} $, ce qui permet de conjecturer $ f(t)e^{-t} $. Toutefois, je ne vois pas comment généraliser le raisonnement.
Conjecture : l'équivalent simple est $f(x)e^{-x}$
Pour le démontrer, tu peux faire un changement de variable $t=x+u$ puis utiliser le théorème de convergence dominée (traite le cas $f(x)>0$ pour tout x afin de pouvoir diviser par f(x)).
Je vous remercie beaucoup pour votre réponse ! Cela fonctionne parfaitement dans le cas où $ \forall x \geq 0, f(x)>0 $, et dans le cas où $ \exists x_0 \in \mathbb{R}_+, f(x_0) =0 $, on a alors par décroissance $ f=0 $ au voisinage de l'infini et donc on peut conclure si je ne me trompe pas que $ \int \limits _x^{+\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t \sim 0 $, en revenant à la définition de la relation d'équivalence.
Calli a écrit :
30 mars 2020 11:53
Bonjour,
Je vais raisonner informellement. On sait que si $x\gg 1$, alors $f(x+1) \approx f(x)$. Par décroissance de $f$, on en déduit que : $\forall t\in[x,x+1]$, $f(t) \approx f(x)$. Là j'ai fait un pas de 1, mais je pourrais faire un pas de 2 ou 3 ou plus en prenant $x$ assez grand. De plus, $e^{-t}$ décroit très vite. Tout cela encourage à couper l'intégrale $\int_x ^{+\infty} f(t) \,e^{-t}\, \textrm{d}t$ en deux : le début sur lequel $f(t)\approx f(x)$ et la queue sur laquelle $e^{-t}$ est très petit. Il reste à formaliser tout cela.
Merci pour votre réponse ! En suivant cette idée, peut-on arriver à la même conclusion avec un autre raisonnement (sans utiliser le théorème de convergence dominée par exemple, ou est-ce vraiment trop fastidieux) ?

Messages : 68

Enregistré le : 28 août 2019 22:46

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par Calli » 30 mars 2020 16:45

En suivant mon idée, on arrive à la même conclusion. Ça demande de sortir des $\varepsilon$, mais je ne qualifierais pas non plus ça de "fastidieux".

Messages : 349

Enregistré le : 04 oct. 2017 15:58

Classe : MP

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par Errys » 30 mars 2020 16:58

Solution alternative, proche de l'idée de Calli, qui repose sur le fait que $ f $ est bornée donc on peut appliquer le théorème d'intégration des relations de comparaison :

On a effectivement :
$$ \int_x^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t\sim \int_x^{\infty} f(t+1)e^{-t} \mathrm{d}t $$
$$ \implies \int_x^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t\sim e\int_{x+1}^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t $$

On découpe alors l'intégrale en 2
$$ \int_x^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t = \int_x^{x+1} f(t)\mathrm{d}t + \int_{x+1}^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t $$
Et on utilise l'équivalent :
$$ \int_x^{x+1} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t \sim (1-1/e)\int_x^{\infty} f(t)e^{-t}\mathrm{d}t $$
Et on utilise alors l'encadrement :
$$ f(x+1)e^{-x}(1-1/e) \le \int_x^{x+1}f(t)e^{-t}\mathrm{d}t \le f(x)e^{-x}(1-1/e) $$
Pour obtenir :
$$ \int_x^{\infty} f(t)\mathrm{d}t \sim f(x)e^{-x} $$
Lycée Édouard Branly 2015-2018
LLG HX1 2018-2019
LLG MP*3 2019-2020

Messages : 5669

Enregistré le : 04 sept. 2005 19:27

Localisation : Versailles

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par JeanN » 30 mars 2020 17:19

Merci pour cette belle preuve.
Comme ça je peux poser cet exercice sur deux programmes de colles différents :)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

jd6

Messages : 15

Enregistré le : 02 juil. 2018 08:10

Classe : MP

Re: Equivalent du reste d'une intégrale

Message par jd6 » 30 mars 2020 17:34

Merci beaucoup pour vos réponses !

Répondre