Matrice diagonale par blocs de rang plein

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Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Tamador195 » 31 mars 2020 12:58

Bonjour,
je suis face à un exo où j’aimerais démontrer qu’un bloc d’une matrice diagonale par blocs est de rang plein.

J’ai réussi à montrer que la matrice totale (carrée de dimension n+p) est de rang plein.
Son bloc supérieur gauche est In,
supérieur droit est (0)
inférieur gauche est (0)
inférieur droit est de la forme Ip-AB.

Est-il standard en MPSI de dire que la matrice étant diagonale par blocs et inversible, chaque bloc est lui meme inversible, donc en particulier Ip-AB?

Sinon, comment montrer que Ip-AB est bien de rang p?

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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Errys » 31 mars 2020 13:01

J'imagine que rang plein indique inversible ?
Dans ce cas là, remarque que inversible équivaut à déterminant non nul. Or, le déterminant de la grosse matrice est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Et il est même égal à celui de Ip-AB, donc est inversible.
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Tamador195 » 31 mars 2020 13:19

tu as sûrement raison mais on n’a pas encore fait les déterminants ... (donc c’est censé pouvoir être fait sans j’imagine).
Y a t-il un autre argument sans déterminants en jeu?

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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Errys » 31 mars 2020 13:25

Oui tu peux faire sans :
Il suffit de montrer que le noyau de I_p - AB est trivial. Pour cela, prend X dans le noyau, et considère le vecteur Y qui a ses n premières coordonnées nulles, et les p dernières égales à celles de X.
Y est dans le noyau de la grosse matrice, et donc Y nul (elle est inversible), d'où X nul. Ainsi, le noyau de I_p - AB est trivial donc Ip-AB inversible.
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Errys » 31 mars 2020 13:26

Autre solution : si tu utilises l'algorithme du pivot de Gauss sur la matrice I_p - AB, cela revient à le faire sur la grosse matrice ! Ce qui permet de relier le rang des deux matrices
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Tamador195 » 31 mars 2020 13:33

Merci beaucoup!

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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par JeanN » 31 mars 2020 16:38

Ou alors tu utilises de façon répétée le petit lemme qui doit trainer dans ton cours et qui valide l'algorithme du pivot pour le calcul du rang pour obtenir que le rang de ta matrice bloc est égal à 1+1+1+1.....+rg(I_p-AB)
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Re: Matrice diagonale par blocs de rang plein

Message par Tamador195 » 31 mars 2020 16:57

Effectivement il y est bien ! Merci monsieur.

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