Exo polynomes MPSI

[Tamador195]

Bonsoir, je sollicite à nouveau votre aide (sans correction ni prof pour m’aiguiller c’est pas évident )

Il s’agit de trouver les polynômes de R[X] tels que P(X)=P(1-X).

Je sens qu’il y a quelque chose avec les polynômes de la forme (X-0.5)^2n mais je n’arrive pas à formaliser ni à avancer rigoureusement.

[gerrard008]

Prends y=x-0.5, soit x=y+0,5, tu as p(y+0,5) = p(-y+0,5).

A priori les polynômes pairs par rapport à l'axe x=0,5 - je te laisse faire la suite comme tu as déjà eu la bonne intuition.

[JeanN]

Bonsoir, je sollicite à nouveau votre aide (sans correction ni prof pour m’aiguiller c’est pas évident )

Il s’agit de trouver les polynômes de R[X] tels que P(X)=P(1-X).

Je sens qu’il y a quelque chose avec les polynômes de la forme (X-0.5)^2n mais je n’arrive pas à formaliser ni à avancer rigoureusement.

Pour démarrer rigoureusement :
Analyse :
Soit P dans R[X] tel que P(X)=P(1-X).
....

Synthèse :
...

Conclusion :
...

[Tamador195]

Bonjour et merci pour vos réponses.

Quand je disais ne pas arriver à être rigoureux, c’est que je ne comprends en quoi le « changement de variable » X<— X-1/2 est licite. Ou plutôt comment le justifier proprement ...

[JeanN]

Supposons P(X)=P(1-X).
On évalue en Q(X) et on obtient P(Q(X))=P(1-Q(X)).
Je pense que ça devrait convenir. Tu n'as plus qu'à choisir judicieusement ton polynôme Q

[Tamador195]

En fait c’est ce que j’ai essayé de faire à maintes reprises, parce que c’est comme ça que j’ai interprété l’énoncé. Mais je n’arrive pas à me ramener à P(Y)=P(-Y) ou à quelque chose dans le genre.

En essayant Q = X-1/2; X+1/2; Et d’autres encore il y a toujours une petite constante additive en trop.

Pour Q= X-1/2 : cela donne
P(X-1/2)=P(1-(X-1/2))=P(-X+3/2)

J’ai l’impression si je ne touche pas à la constante additive tout s’arrange mais je ne vois pas ce qui m’y autoriserait ( ie si j’écris P(X-1/2)=P((1-X)-1/2)=P(1/2-X)). Mais ça ne me parait pas licite de remplacer seulement X par 1-X ou si je me trompe j’aimerais bien savoir ce qui m’y autorise

[JeanN]

En prenant Q=1/2+X, et en posant R(X)=P(X+1/2), tu devrais arriver à une relation simple vérifiée par R

[Tamador195]

Merci beaucoup monsieur j’ai trouvé