Exercices Mpsi Analyse

[Piroueman]

Bonjour je bloque sur un exercice. Pourriez-vous me donner des indications ?

Soient f1, f2, fn des fonctions de R dans R périodiques telles que lim ( f1+....+fn) =0 en l'infini. Montrer que f1+f2+...+fn=0

Ce que j'ai fait brièvement : récurrence
Initialisation : une fonction périodique non constante n'admet pas de limite donc f1=0


Hérédité : je considère Tn+1 l'ensemble des périodes de f . Si cet ensemble est dense dans R, je prends un x qqlc puisqu'il est limite d'une suite d'éléments de Tn+1 j'ai f_n+1(x)=f_n+1(0), j'incrémente fn+1(0) dans f_n qui sera périodique (car je rajoute seulement une constante) et je fais tendre x vers plus l'infini et j'utilise mon HR, ce qui me donne que f_1+...+f_n= -f_n+1(0), donc $ \lim_{x} f_{n+1}(x)-f_{n+1}(0) =0 $ et on conclut que la somme fait 0 avec l'initialisation.

-L'arnaque c'est que rien me dit que f_n+1 est continue et je vois pas comment m'en sortir sans la continuité

-Deuxième cas : Tn+1 est de la forme T0Z avec To dans R+. J'aimerais raisonner de la même manière, je pose x=Tok et je fais tendre k vers l'infini.
-Problème je ne suis pas dans le cadre de mon hypothèse de récurrence, puisque dans celle-ci je fais tendre x vers plus l'infini sans que celui ne soit un multiple dans R de To...



merci

[JeanN]

Pas besoin de densité ni de continuité.
Pose $T_{n+1}>0$ une période de $f_{n+1}$ et essaye d'appliquer ton hypothèse de récurrence à une fonction bien choisie construite à partir de $f_1+...+f_{n+1}$.