Nature d’une série

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Nature d’une série

Message par lamdba » 25 mai 2020 20:29

Bonjour

Je cherche un indice pour pouvoir étudier la suite suivante, afin de trouver la nature de sa série :
Soit phi une bijection de N* dans N*, pour tout n>0 , Un= phi(n) / n^2

Merci
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Re: Nature d’une série

Message par Krik » 25 mai 2020 21:52

Penses-tu montrer la convergence ou la divergence ?

Indice 1 :
SPOILER:
As-tu déjà entendu parler de suites de Cauchy, ou de critère de Cauchy ? Si non (ce n'est pas grave, ce n'est pas au programme), aller à l'indice 2.
Indice 2 :
SPOILER:
Fixons $ k \in \mathbb{N}^* $. Que peux-tu dire de $ \displaystyle\sum_{n=k+1}^{2k} \frac{\varphi (n)}{n^2} $ ?

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Re: Nature d’une série

Message par lamdba » 25 mai 2020 22:51

Je pense montrer la divergence (en ayant essayé avec des exemples de bijection)
Oui, on a fait la regle de Cauchy, avec la convergence de la serie des Un selon la limite de la racine énième de Un.
Pour le deuxième indice, j’ai pensé minorer cette somme par 1/(2k)^2 x la somme des phi(n) (qui est égale à la somme des k car phi est une bijection de N* dans N*) et je trouve que c’est égal à 1/2 (sauf si je me suis trompé quelque part)
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Re: Nature d’une série

Message par Krik » 25 mai 2020 23:31

Je parlais du critère de Cauchy comme dans les suites de Cauchy, pas de la règle de Cauchy (mais laissons tomber, inutile de s'attarder dessus si tu ne l'as pas vu en cours ; comme je le disais c'est hors programme).

Ton idée est la bonne, mais il est faux de dire que $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) = \sum_{n=k+1}^{2k} n $. En revanche, $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) $, est la somme de $ k $ entiers naturels distincts. Donc ?

Moi je trouve que la somme que je te propose est supérieure ou égale à $ \frac{1}{8} $. Comment peux-tu conclure ?

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Re: Nature d’une série

Message par lamdba » 26 mai 2020 01:30

Je pense pouvoir en conclure que le reste de la somme de la série ne tend pas vers 0, donc la série est divergente ?
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Re: Nature d’une série

Message par JeanN » 26 mai 2020 08:28

C'est mal dit. Le reste d'une série n'est défini que si la série est convergente.
Essaye de reformuler ton argumentation.
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Re: Nature d’une série

Message par lamdba » 26 mai 2020 19:50

Oui, c’est vrai.
Je peux supposer par l’absurde que la série est convergente et donc son reste ne tend pas vers 0 car minoré par 1/8 ,d’où l’absurdité ?
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Re: Nature d’une série

Message par JeanN » 26 mai 2020 21:10

Tu peux enlever le point d’interrogation final.
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Re: Nature d’une série

Message par lamdba » 26 mai 2020 21:57

Ok merci beaucoup votre aide, Krik et JeanN !
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Re: Nature d’une série

Message par Krik » 26 mai 2020 23:35

As-tu réussi à prouver la minoration par 1/8 ?

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