Nature d’une série
Nature d’une série
Bonjour
Je cherche un indice pour pouvoir étudier la suite suivante, afin de trouver la nature de sa série :
Soit phi une bijection de N* dans N*, pour tout n>0 , Un= phi(n) / n^2
Merci
Je cherche un indice pour pouvoir étudier la suite suivante, afin de trouver la nature de sa série :
Soit phi une bijection de N* dans N*, pour tout n>0 , Un= phi(n) / n^2
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Re: Nature d’une série
Penses-tu montrer la convergence ou la divergence ?
Indice 1 :
Indice 2 :
Indice 1 :
SPOILER:
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Re: Nature d’une série
Je pense montrer la divergence (en ayant essayé avec des exemples de bijection)
Oui, on a fait la regle de Cauchy, avec la convergence de la serie des Un selon la limite de la racine énième de Un.
Pour le deuxième indice, j’ai pensé minorer cette somme par 1/(2k)^2 x la somme des phi(n) (qui est égale à la somme des k car phi est une bijection de N* dans N*) et je trouve que c’est égal à 1/2 (sauf si je me suis trompé quelque part)
Oui, on a fait la regle de Cauchy, avec la convergence de la serie des Un selon la limite de la racine énième de Un.
Pour le deuxième indice, j’ai pensé minorer cette somme par 1/(2k)^2 x la somme des phi(n) (qui est égale à la somme des k car phi est une bijection de N* dans N*) et je trouve que c’est égal à 1/2 (sauf si je me suis trompé quelque part)
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Re: Nature d’une série
Je parlais du critère de Cauchy comme dans les suites de Cauchy, pas de la règle de Cauchy (mais laissons tomber, inutile de s'attarder dessus si tu ne l'as pas vu en cours ; comme je le disais c'est hors programme).
Ton idée est la bonne, mais il est faux de dire que $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) = \sum_{n=k+1}^{2k} n $. En revanche, $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) $, est la somme de $ k $ entiers naturels distincts. Donc ?
Moi je trouve que la somme que je te propose est supérieure ou égale à $ \frac{1}{8} $. Comment peux-tu conclure ?
Ton idée est la bonne, mais il est faux de dire que $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) = \sum_{n=k+1}^{2k} n $. En revanche, $ \sum_{n=k+1}^{2k} \varphi (n) $, est la somme de $ k $ entiers naturels distincts. Donc ?
Moi je trouve que la somme que je te propose est supérieure ou égale à $ \frac{1}{8} $. Comment peux-tu conclure ?
Re: Nature d’une série
Je pense pouvoir en conclure que le reste de la somme de la série ne tend pas vers 0, donc la série est divergente ?
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Re: Nature d’une série
C'est mal dit. Le reste d'une série n'est défini que si la série est convergente.
Essaye de reformuler ton argumentation.
Essaye de reformuler ton argumentation.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Nature d’une série
Oui, c’est vrai.
Je peux supposer par l’absurde que la série est convergente et donc son reste ne tend pas vers 0 car minoré par 1/8 ,d’où l’absurdité ?
Je peux supposer par l’absurde que la série est convergente et donc son reste ne tend pas vers 0 car minoré par 1/8 ,d’où l’absurdité ?
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Re: Nature d’une série
Tu peux enlever le point d’interrogation final.
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Re: Nature d’une série
Ok merci beaucoup votre aide, Krik et JeanN !
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Re: Nature d’une série
As-tu réussi à prouver la minoration par 1/8 ?