Espace euclidien

[ROH2F(x)]

Bonjour,
$ $
Soit $E$ un espace euclidien.
Je me demande si une application $f : E \rightarrow E$ vérifiant
$$
\| f(x) \| = \| x \|
$$
vérifie $\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle $ ?

Si elle est linéaire alors c'est bon. Mais je ne vois pas comment prouver qu'elle est linéaire. Je pense qu'il faut rajouter des hypothèse.

Merci pour votre aide.

[lamdba]

Message suivant :

[lamdba]

Tu peux le prouver grâce aux propriétaires du produit scalaire, en calculant la différence de :
||f(x+ λy) - (f(x) + λf(y))||^2 ( et grâce à ça tu montres que f est forcément linéaire).

[ROH2F(x)]

Bonjour lambda

[ROH2F(x)]

J'ai essayé mais je n'arrive pas à conclure.

[ROH2F(x)]

Regardons un exemple plus simple. Montrons f(sx) = s f(x) avec votre méthode.
On a |f(sx) - s f(x)|^2 = |sx|^2 + s^2 |x|^2 - 2<f(sx), s f(x)> = 2(s^2|x|^{2}-s <f(sx),f(x)> )
comment faites vous pour conclure ?

[lamdba]

L’application vérifie <f(x),f(y)> = <x,y> => f est un endomorphisme de E :
Essaye de regarder avant.


Sens =>) : soient (x,y) appartenants à E^2 et λ appartient à IR(Ou C).
II f(x+λy) - (f(x) + λf(y))||^2 = <f(x+λy) - (f(x) + λf(y)), f(x+λy) - (f(x) + λf(y))> = (grâce à la bilinéairité du produit scalaire) et quelques développements et en utilisant l’hypothèse de départ à
(x + λy|x + λy) − (x + λy|x) − λ(x + λy|y)− (x|x + λy) +(x|x) +λ(x|y) − λ(y|x + λy ) + λ(y|x ) + λ^2(y|y) = ...= 0 (peut être j’ai fait une erreur de calcul mais l’idée y est) et donc t’as f(x+λy) = f(x) + λf(y), d’où l’implication

[JeanN]

Bonjour,
$ $
Soit $E$ un espace euclidien.
Je me demande si une application $f : E \rightarrow E$ vérifiant
$$
\| f(x) \| = \| x \|
$$
vérifie $\langle f(x), f(y) \rangle = \langle x, y \rangle $ ?

Si elle est linéaire alors c'est bon. Mais je ne vois pas comment prouver qu'elle est linéaire. Je pense qu'il faut rajouter des hypothèse.

Merci pour votre aide.

Je crois que si tu demande f(0)=0 et ||f(a)-f(b)||=||a-b||, tu peux démontrer que f est linéaire (en utilisant la bonne identité de polarisation)
Avec simplement la conservation de la norme, tu peux imaginer n’importe quelle fonction qui envoie une sphère de rayon R sur elle même et elle n’a pas de raison d’être linéaire.

[ROH2F(x)]

Bonjour JeanN

Merci pour votre réponse. Je ne vois pas comment construire un tel contre exemple en dimension quelconque fini.
On cherche une application de la sphère unité à valeur dans la sphère unité qui n'est pas linéaire.
Hum...

[lamdba]

Svp JeanN, la réponse que j’ai donnée est-elle juste et rigoureuse ou pas ?
Merci