Sujet maths Concours 2020
Sujet maths Concours 2020
Peut-on avoir le sujet maths A, de l’X de ce matin , merci.
Re: Sujet maths A, X 2020
Epreuve A : https://www.dropbox.com/s/fvh7x422g9ebd ... s.pdf?dl=0
Epreuve B :
https://www.dropbox.com/s/lm8v2n490z69a ... d.pdf?dl=0
Epreuve C
https://cpge-paradise.com/Concours2020/MathC.pdf
Epreuve D (Ulm 6h) :
https://www.dropbox.com/s/w643cfa8pam7j ... 0.pdf?dl=0
Epreuve X-ENS filière PC (merci au propriétaire du pouce) :
https://www.dropbox.com/s/papui41d6kb3p ... 0.pdf?dl=0
Epreuve X-ENS filière PSI
https://www.dropbox.com/s/60o6p33z5nq1r ... 0.pdf?dl=0
BECEAS :
Epreuve pour tous : https://www.dropbox.com/s/4qrvhnip9mtzg ... 0.pdf?dl=0
Epreuve d'option :
https://www.dropbox.com/s/gundu8bpb3vcg ... s.pdf?dl=0
Correction de l'épreuve d'option
https://www.dropbox.com/s/0s0p5nmq4w4ke ... n.pdf?dl=0
Bonne lecture.
Je mettrai à jour ce message pour les sujets de maths de la session.
Epreuve B :
https://www.dropbox.com/s/lm8v2n490z69a ... d.pdf?dl=0
Epreuve C
https://cpge-paradise.com/Concours2020/MathC.pdf
Epreuve D (Ulm 6h) :
https://www.dropbox.com/s/w643cfa8pam7j ... 0.pdf?dl=0
Epreuve X-ENS filière PC (merci au propriétaire du pouce) :
https://www.dropbox.com/s/papui41d6kb3p ... 0.pdf?dl=0
Epreuve X-ENS filière PSI
https://www.dropbox.com/s/60o6p33z5nq1r ... 0.pdf?dl=0
BECEAS :
Epreuve pour tous : https://www.dropbox.com/s/4qrvhnip9mtzg ... 0.pdf?dl=0
Epreuve d'option :
https://www.dropbox.com/s/gundu8bpb3vcg ... s.pdf?dl=0
Correction de l'épreuve d'option
https://www.dropbox.com/s/0s0p5nmq4w4ke ... n.pdf?dl=0
Bonne lecture.
Je mettrai à jour ce message pour les sujets de maths de la session.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Sujet maths Concours 2020
Comment avez-vous trouvé le sujet de maths PC (facile ou moyen, court ou long) ?
Je suis allé à la question 13c en sautant une question et je ne sais pas si c'est normal ou pas par rapport à la difficulte du sujet
Je suis allé à la question 13c en sautant une question et je ne sais pas si c'est normal ou pas par rapport à la difficulte du sujet
Re: Sujet maths Concours 2020
Dans le Maths A, en question 3.(b), vous arrivez à montrer que les matrices commutent deux à deux en utilisant le résultat de la question précédente ? J'y arrive en exploitant la matrice $ B $ que je donne explicitement à la question précédente, mais je préférerais n'utiliser que le résultat et non pas la preuve de la question 3.(a), puisqu'un candidat doit pouvoir trouver 3.(b) sans avoir réussi 3.(a)...
Je précise que je regarde rapidement le sujet, et qu'il est possible que j'ai loupé une évidence.
Je précise que je regarde rapidement le sujet, et qu'il est possible que j'ai loupé une évidence.
Re: Sujet maths Concours 2020
Long. Et mieux vaut faire 13 questions bien que 20 bâclées...Hypophysaire a écrit : ↑22 juin 2020 20:01Comment avez-vous trouvé le sujet de maths PC (facile ou moyen, court ou long) ?
Je suis allé à la question 13c en sautant une question et je ne sais pas si c'est normal ou pas par rapport à la difficulte du sujet
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Sujet maths Concours 2020
Pas le temps de regarder mais ce n’est pas rare dans certains récents sujets de l’X que les questions s’enchaînent mal ...Krik a écrit : ↑22 juin 2020 20:21Dans le Maths A, en question 3.(b), vous arrivez à montrer que les matrices commutent deux à deux en utilisant le résultat de la question précédente ? J'y arrive en exploitant la matrice $ B $ que je donne explicitement à la question précédente, mais je préférerais n'utiliser que le résultat et non pas la preuve de la question 3.(a), puisqu'un candidat doit pouvoir trouver 3.(b) sans avoir réussi 3.(a)...
Je précise que je regarde rapidement le sujet, et qu'il est possible que j'ai loupé une évidence.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Sujet maths Concours 2020
La question 3b) s'enchaîne bien avec la précédente, à l'aide d'une récurrence sur $ d $. Le fait que les matrices commutent vient du produit par bloc.
De manière générale, je trouve ce sujet joli et bien écrit.
De manière générale, je trouve ce sujet joli et bien écrit.
Re: Sujet maths Concours 2020
Est-ce si clair si l'on ne dispose pas de l'écriture par blocs de la $ k+1 $-ième matrice en fonction de la $ k $-ième ?
Je ne dis pas que c'est impossible, encore une fois j'ai regardé rapidement. J'ai trouvé une solution, mais elle utilise cette écriture par blocs, qu'un candidat qui n'a pas réussi la 3a ne connait a priori pas, et je me demandais comment faire sans
Re: Sujet maths Concours 2020
Krik a raison, on ne peut pas faire 3.b sans avoir su faire 3.a. Mais là il n'y a pas de mauvaise écriture du sujet : on ne demandait pas de déduire la 3.b de la 3.a (nulle trace de "En déduire que..."). Il faut voir 3.a comme une question d'échauffement avant 3.b.
Ce qui me semble plus étrange, c'est que cette histoire de commutation ne sert strictement à rien dans l'application qui est faite de cette question 3. Le résultat n'est utilisé que dans l'ultime question, où l'on a besoin d'avoir pour tout rationnel $q>0$, l'existence d'un entier $n>0$ tel que $q.I_n$ se décompose sous la forme ${}^tPP$ avec $P \in GL_n(\mathbb{Q})$ (et plus précisément, pour toute liste finie $q_1,\dots,q_k$ de rationnels strictement positifs, l'existence d'un entier $n>0$ commun tel que toutes les matrices $q_i.I_n$ se décomposent sous cette forme, mais c'est une conséquence facile du cas d'un seul rationnel). Au passage, la théorie des formes quadratiques rationnelles montre que $n=4$ convient systématiquement.
Un mot sur la fonction $t$ : on n'en a besoin que d'une forme locale (restreinte au sous-corps de $\mathbb{Q}$ engendré par l'élément $z$ considéré dans la partie IV). Pour cela, on se donne un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\mathbb{C}$ de dimension finie sur $\mathbb{Q}$.
On considère la trace de $\mathbb{K}$ sur $\mathbb{Q}$, notée $\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}$ : c'est la fonction qui à un élément $x$ de $\mathbb{K}$ associe la trace de l'endomorphisme $a \mapsto xa$ du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{K}$. On peut démontrer que ce dernier est représentable, dans une base appropriée, par une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à la matrice compagnon $A$ du polynôme minimal de $x$. La trace est donc un multiple de la trace de $A$ ; or la trace de $A$ est la somme des conjugués de $x$ (relations coefficients-racines). On voit alors que si $x$ est totalement positif et non nul, alors $\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}(x)$ est strictement positif.
On obtient quelque chose de plus naturel en compensant : en notant $d$ le degré de $\mathbb{K}$ sur $\mathbb{Q}$, autrement dit la dimension de $\mathbb{K}$ comme $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, on voit que $\frac{1}{d}\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}(x)$ est la moyenne des conjugués de l'élément $x$ de $\mathbb{K}$. On peut la noter $t(x)$ puisqu'elle ne dépend pas de $\mathbb{K}$. On obtient ainsi une fonction $t$ sur l'ensemble des nombres algébriques (complexes, peu importe), à valeurs dans $\mathbb{Q}$, qui soit $\mathbb{Q}$-linéaire et envoie tout nombre algébrique totalement positif non nul sur un rationnel strictement positif.
Ce qui me semble plus étrange, c'est que cette histoire de commutation ne sert strictement à rien dans l'application qui est faite de cette question 3. Le résultat n'est utilisé que dans l'ultime question, où l'on a besoin d'avoir pour tout rationnel $q>0$, l'existence d'un entier $n>0$ tel que $q.I_n$ se décompose sous la forme ${}^tPP$ avec $P \in GL_n(\mathbb{Q})$ (et plus précisément, pour toute liste finie $q_1,\dots,q_k$ de rationnels strictement positifs, l'existence d'un entier $n>0$ commun tel que toutes les matrices $q_i.I_n$ se décomposent sous cette forme, mais c'est une conséquence facile du cas d'un seul rationnel). Au passage, la théorie des formes quadratiques rationnelles montre que $n=4$ convient systématiquement.
Un mot sur la fonction $t$ : on n'en a besoin que d'une forme locale (restreinte au sous-corps de $\mathbb{Q}$ engendré par l'élément $z$ considéré dans la partie IV). Pour cela, on se donne un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\mathbb{C}$ de dimension finie sur $\mathbb{Q}$.
On considère la trace de $\mathbb{K}$ sur $\mathbb{Q}$, notée $\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}$ : c'est la fonction qui à un élément $x$ de $\mathbb{K}$ associe la trace de l'endomorphisme $a \mapsto xa$ du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $\mathbb{K}$. On peut démontrer que ce dernier est représentable, dans une base appropriée, par une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à la matrice compagnon $A$ du polynôme minimal de $x$. La trace est donc un multiple de la trace de $A$ ; or la trace de $A$ est la somme des conjugués de $x$ (relations coefficients-racines). On voit alors que si $x$ est totalement positif et non nul, alors $\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}(x)$ est strictement positif.
On obtient quelque chose de plus naturel en compensant : en notant $d$ le degré de $\mathbb{K}$ sur $\mathbb{Q}$, autrement dit la dimension de $\mathbb{K}$ comme $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, on voit que $\frac{1}{d}\mathrm{Tr}_{\mathbb{K}/\mathbb{Q}}(x)$ est la moyenne des conjugués de l'élément $x$ de $\mathbb{K}$. On peut la noter $t(x)$ puisqu'elle ne dépend pas de $\mathbb{K}$. On obtient ainsi une fonction $t$ sur l'ensemble des nombres algébriques (complexes, peu importe), à valeurs dans $\mathbb{Q}$, qui soit $\mathbb{Q}$-linéaire et envoie tout nombre algébrique totalement positif non nul sur un rationnel strictement positif.
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Sujet maths Concours 2020
Ce qui est assez bien vu dans l'écriture de ce sujet, c'est le point de vue évitant de parler de polynôme minimal et de conjugués : il y aurait eu trop de recouvrement avec le sujet de l'an dernier (sans parler de valorisation du hors-programme).
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche