Question simplexe (X maths A 2016)

[Ali_J]

Salut,
Je fais appel à votre aide pour la question suivante (qui a été rajoutée au sujet X 2016 qui a été mis en ligne).
Voici le lien vers la question https://zupimages.net/up/20/27/55v8.jpg
J'arrive à prouver qu'il existe $ k+1 $ vecteurs deux à deux distincts $ u_0,...,u_k $ tels que pour tout $ i=0,...,k $ on ait $ (u_i+[0,1]^n)\cap S \neq \emptyset $ mais je n'arrive pas à conclure.
La définition d'un simplexe se fait à partir d'une famille $ s_0,s_1,...s_n \in \mathbb{R^n} $ telle que la famille $ (s_1-s_0,...,s_n-s_0) $ est libre. Le simplexe de sommets $ s_0,s_1,...s_n $ est par définition l'enveloppe convexe de $ s_0,s_1,...s_n $. Le sujet propose une définition du volume d'un simplexe via le déterminant $ vol(S)=\frac{1}{n!}|\mathbb{det}(s_1-s_0,...,s_n-s_0)| $. Il admet pour cette question que le volume d'un simplexe coincide avec sa mesure de lebesgue (et donc possède les propriétés d'une mesure)

[versionpatch]

J'ai essayé d'utiliser la formule du crible pour montrer qu'il y a $k+1$ hypercubes d'intersection non nulle. Ceci marche pour $k = 1,2,3$. J'essaie encore de généraliser.

Edit : Ca marche plus pour $k=5$...

[Ali_J]

J'ai essayé d'utiliser la formule du crible pour montrer qu'il y a $k+1$ hypercubes d'intersection non nulle. Ceci marche pour $k = 1,2,3$. J'essaie encore de généraliser.

De quels hypercubes parles tu précisément ?
Les hypercubes proposés dans l'indication forment une partition de S, j'ai du mal à voir comment m'en servir.

[versionpatch]

Ce ne sont pas vraiment des hypercubes. J'utilise le fait que si $u_{1},...,u_{p}$ sont tous les vecteurs à coefficients entiers vérifiants $\mu((u_{i} + [0,1[^{n}) \cap S) > 0$ alors
$$ \sum_{i=1}^{p} \mu((S - u_{i}) \cap [0,1[^{n}) = \mu(S)$$
Comme tous ces ensembles sont inclus dans l'hypercube unité, une réunion disjointe de ces ensembles (ou une réunion disjointe des intersections de chaques $k$ de ces ensembles pour $k > 1$) a une mesure inferieure à $1$. J'ai pensé donc à utiliser la formule du Crible et raisonner par contraposition, mais ca ne fonctionne plus pour une intersection de $5$ parties.

[JeanN]

Cherche dans le poly de Debarre qui a fortement inspiré le sujet.

https://www.math.ens.fr/~debarre/Aussois.pdf