probas : variable à densité sans mémoire

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probas : variable à densité sans mémoire

Message par Paramécie » 17 janv. 2007 20:51

Bonsoir, je bloque sur cet exercice:
X de densité f continue sur R avec f(t)=0 si ts+t | X>s)=P(X>t) (*)
a) en posant g(t)=1-F(t), traduire (*) sur g
Cette question ne me pose pas de problème, je trouve:
g(s+t)=g(s)g(t) (*)
b) vérifier que g est dérivable et que g est solution d'une équation différentielle qu'on résoudra.
C'est là que je bloque, pour la dérivabilité de g, c'est bon.
Ensuite, en dérivant (*), je trouve:
g'(s+t)=g(s)g'(t) mais j'ai beau chercher, je n'arrive pas à trouver une équa diff que je peux résoudre...
Je sais que je vais trouver une loi exponentielle pour X, mais cela ne m'aide pas...

2) Pour X quelconque, le taux de panne h sur R+* est défini par
h(t)=f(t)/[1-F(t)]
Exprimer F en fonction d'une intégrale de h. Que vaut la fonction h pour X qui suit une loi exponentielle de paramètre a?

Je ne vois pas du tout comment exprimer F en fonction d'une intégrale de h, en effet, on a: F(t)=1-f(t)/h(t), mais...

Merci d'avance pour votre aide, ça doit être tout bête, mais je bloque vraiment...
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Re: probas : variable à densité sans mémoire

Message par Eti-N » 17 janv. 2007 21:51

Paramécie a écrit :Ensuite, en dérivant (*), je trouve:
g'(s+t)=g(s)g'(t) mais j'ai beau chercher, je n'arrive pas à trouver une équa diff que je peux résoudre...
Tu as dérivé par rapport à t, tu pourrais aussi dériver par rapport à s et obtenir quelque chose comme $ \forall (s,t) \in {]0,+\infty[}^2 g(s)g'(t)=g'(s)g(t) $. Et tu as alors une équation différentielle du type ay'+by=0. ;)

(Sinon, on peut aussi avoir une idée en choissisant un t particulier.)

Pour la seconde partie, tu as $ \forall t \geq 0, h(t)=F'(t)/(1-F(t)) $. Je pense qu'il y a une idée à creuser derrière ça. :)
Modifié en dernier par Eti-N le 17 janv. 2007 22:23, modifié 2 fois.
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Re: probas : variable à densité sans mémoire

Message par Philippe PATTE » 17 janv. 2007 22:03

Paramécie a écrit :Bonsoir, je bloque sur cet exercice:
X de densité f continue sur R avec f(t)=0 si ts+t | X>s)=P(X>t) (*)
a) en posant g(t)=1-F(t), traduire (*) sur g
Cette question ne me pose pas de problème, je trouve:
g(s+t)=g(s)g(t) (*)
b) vérifier que g est dérivable et que g est solution d'une équation différentielle qu'on résoudra.
C'est là que je bloque, pour la dérivabilité de g, c'est bon.
Ensuite, en dérivant (*), je trouve:
g'(s+t)=g(s)g'(t) mais j'ai beau chercher, je n'arrive pas à trouver une équa diff que je peux résoudre...
Je sais que je vais trouver une loi exponentielle pour X, mais cela ne m'aide pas...
Bien choisir s ...
2) Pour X quelconque, le taux de panne h sur R+* est défini par
h(t)=f(t)/[1-F(t)]
f et F, c'est la même chose ?
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Message par Paramécie » 17 janv. 2007 22:11

Merci beaucoup, j'ai compris la méthode de Eti-N, en dérivant par rapport à s, mais je ne vois pas comment le faire autrement en choisissant bien s. J'ai essayé différentes valeurs mais je n'obtiens rien:
s=0 me donne g'(t)=g(0)g'(t) donc je ne m'en sors pas et je ne vois pas quoi poser d'autre pour s...
Sinon, pour F et f, ce n'est pas la même chose, F est la fonction de répartition de X c'est donc une primitive de f, et en écrivant f=F' comme me l'a suggéré Eti-N, ça me donne donc l'équa diff suivante:
F'(t)=-h(t)F(t)+h(t)
solution homogène : F(t)=C exp -H(t) avec H primitive de h (qui s'annule en 0 par exemple)
solution particulière : on remarque que ça marche pour F(t)=1
on a donc comme solution générale F(t)=C exp-H(t) +1
comme F(0)=0 puisque f(t)= pour t<0, on a C=-1
Si X suit une loi exponentielle de paramètre a, on a donf F=1-exp -at
et h(t)=a, non?

Merci encore
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Message par Eti-N » 17 janv. 2007 22:14

Paramécie a écrit :s=0 me donne g'(t)=g(0)g'(t) donc je ne m'en sors pas et je ne vois pas quoi poser d'autre pour s...
Tu n'as pas une équation différentielle en y'=ay dans ce cas ? (De toute façon, même dans ma "méthode" qui complique beaucoup la vie, on est bien obligé de fixer un s ou un t pour avoir une équation différentielle.)

EDIT : Pardon, je lis décidement trop vite, on a g'(t)=g'(0)g(t), ce qui permet de conclure. (La symétrie, ça fait mal. :D)
Modifié en dernier par Eti-N le 17 janv. 2007 22:26, modifié 2 fois.
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Message par Philippe PATTE » 17 janv. 2007 22:15

Paramécie a écrit : s=0 me donne g'(t)=g(0)g'(t) donc je ne m'en sors pas et je ne vois pas quoi poser d'autre pour s...
Argh ! Choisr une valeur de t ...
Sinon, pour F et f, ce n'est pas la même chose,
Si on veut faire participer les non-spécialistes des probas, il vaut mieux définir les objets ...
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Re: probas : variable à densité sans mémoire

Message par Philippe PATTE » 17 janv. 2007 22:24

Eti-N a écrit :Pour la seconde partie, tu as $ \forall t \geq 0, h(t)=F'(t)/(1-F(t)) $. Je pense qu'il y a une idée à creuser derrière ça. :)
C'est sûr ! F'/(1-F) a une primitive "évidente". C'est un peu plus rapide que la résolution de l'ED par Paramécie, mais on trouve bien le même résultat.
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Message par Paramécie » 17 janv. 2007 22:37

Merci beaucoup, en effet, la primitive était évidente :oops: , on va dire que c'est la fatigue...
Pour le vocabulaire des probas, je suis désolée...
Sinon, je vais encore vous embêter, mais je ne comprends pas votre :
Argh ! Choisr une valeur de t ...
, je dois vraiment être bouchée ...
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Message par Philippe PATTE » 17 janv. 2007 23:03

Paramécie a écrit :Sinon, je vais encore vous embêter, mais je ne comprends pas votre :
Argh ! Choisir une valeur de t ...
, je dois vraiment être bouchée ...
J'aime beaucoup qu'on m'embête et mes élèves ne le font pas assez. :)
En remplaçant t par 0 dans g'(s+t)=g(s)g'(t), on obtient g'(s)=a.g(s) avec a=g'(0) constante.
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Message par marionc21 » 18 janv. 2007 18:45

Merci beaucoup, ce n'était pas si compliqué mais je m'embrouillais avec les deux variables...
ancienne BCPST à Carnot (2005-2007)
étudiante à l'école vétérinaire d'Alfort (2007-2012)

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