Théorème fondamental de l'analyse

[Porus]

Bonjour,

je revois le début de la spé pour préparer la sup.
le th fondamental de l'analyse dit que pour une fonction f continue tq
f : I --> |K avec I un intervalle de R et K= R ou C
pour un a$ \epsilon $I,
la fonction F : x--> $ \int_{a}^{x} f(t) dt $ est une primitive de f

si je cherche les primitives de $ \arcsin(x) $ sur ]-1,1[
alors je dois calculer $ \int_{-1}^{1} arcsin(t) dt $ non ?? (en faisant une IPP)
pcq dans le corrigé l'intégral est plutôt $ \int_{0}^{x} arcsin(t) dt $ avec x$ \epsilon $]-1,1[

je vois pas pq je peux pas directement placer l'intégral entre -1 et 1
je sens que y a sûrement qlqc que j'ai mal compris

merci de votre aide

[1sala23]

$ \int_{-1}^{1} arcsin(t) dt $ est un nombre réel, pas une fonction, et si tu veux lui associer une fonction, c'est une fonction constante.
Ce que te donne la correction est une primitive si tu la considère comme une fonction de x, un nombre si tu fixes x.

Les primitives de ta fonction sont :

$ x\mapsto \displaystyle \int_{a}^{x} \arcsin(t)dt $ pour $a\in ] -1, 1[$.

[Porus]

ahh oe je vois mais même dans le cas où je fixe x entre -1 et 1, je trouve bien une primitive de arcsin(x) non ??
Pour la question de base ici qui demande de trouver LES primitives de arcsin(x) , je répondrai pas à la question puisque en fixant x je trouverai seulement une primitive non ?

[Guillaume Rouy]

ahh oe je vois mais même dans le cas où je fixe x entre -1 et 1, je trouve bien une primitive de arcsin(x) non ??
Pour la question de base ici qui demande de trouver LES primitives de arcsin(x) , je répondrai pas à la question puisque en fixant x je trouverai seulement une primitive non ?

Attention, pour garder des notations simples, les différentes primitives sont toutes des fonctions de la variable $ x $ (cela n'a pas de sens de fixer $ x $), mais elles ont toutes un $ a $ différent qui lui, est fixé entre -1 et 1 non inclus, comme l'a dit 1sala23.

Pour résumer : une primitive est une fonction. Les primitives d'une fonction sont égales à une constante additive près, qui dépend ici de la valeur de $ a $. C'est ce que dit le théorème fondamental. Si le corrigé donne $ a=0 $, il ne donne qu'une seule primitive, celle qui s'annule en 0. Il y en a d'autres, une infinité, pour tous les $ a $ disponibles.

[Porus]

ok merci bcp