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par Chancla » 12 août 2020 14:25
Bon, j'ai trouvé pour le problème initial, il suffisait de remarquer que $ \exp(i2\pi nl) = \exp(i2\pi(nl - E(nl)) $ avec $ l $ la longueur des pas.
J'ai ensuite essayé de montrer le théorème de Jacobi. Sauf que j'arrive à la fin sans utiliser le fait que $ x $ est irrationnel ... Où se situe le soucis ?
On pose $ u_n = nx - E(nx) $. On pose $ P_k = \left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right[ $, $ 0\leq k\leq n-1 $. On obtient alors une partition de [0,1[. D'après le principe des tiroirs, pour tout entier $ n $, il existe $ i > j $ tel que
$ | ix - E(ix) + E(jx) - jx | < \frac{1}{n} $
Or,
$ E(ix) - E(jx) = E((i-j)x) $
Donc,
$ 0\leq u_{i-j} < \frac{1}{n} $
Donc $ \{u_k | k\in\mathbb{N}\} \cap \left[0,\frac{1}{n}\right[ \neq \emptyset $
Il reste plus qu'à montrer que $ \{u_k | k\in\mathbb{N}\} \cap \left[a,b\right[ \neq \emptyset $
Comme $ p (nx - E(nx)) = pnx - E(pnx) $ pour tout naturel $ p $, il suffit de montrer l'existence d'un entier $ p $ tel que
$ a < (p-1)(nx - E(nx)) < pnx - E(pnx) < (p-1)(nx - E(nx)) + \frac{1}{m} < b $
On peut choisir $ m $ tel que $ \frac{(a+b)m}{2} > 1 $. Soit $ n $ tel que $ u_n < \frac{1}{m} $. On cherche donc un entier $ p $ tel que
$ E\left(\frac{a}{nx - E(nx)}\right) +1 \leq \frac{a}{nx - E(nx)} + 1 < p < \frac{b-a}{2(nx - E(nx))} + 1 \leq E\left(\frac{b-a}{2(nx - E(nx))}\right) + 1 $
Soit,
$ E\left(\frac{a}{nx - E(nx)}\right) +1 \leq p \leq E\left(\frac{b-a}{2(nx - E(nx))}\right) + 1 $
On peut prendre par exemple $ p = E\left(\frac{b-a}{2(nx - E(nx))}\right) + 1 $ et dans ce cas $ a < u_{pn} < b $
