Une idée ?

[oty20]

Bonjour, je sollicite votre aide dans l'espoir d'avoir de nouvelle idées pour attaquer le problème suivant:

Soit $(u_{n})$ une suite strictement croissante telle que : $$0< u_{1}< u_{2}<....$$ et $$\sum_{i} \frac{1}{u_{i}}< +\infty$$ On note $f(x)$ le nombre de couples $(i,j)$ vérifiant : $$\sum_{k=i}^{j} u_{k} \leq x$$

On souhaite montrer que : $$\lim_{ x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} =0$$.


J'essaye d'estimer $f(x)$, pour ce faire je chercher une information sur les couples $(i,j)$ correspondant, je ne vois que C-S pour l'instant : Si on note $$S= \sum_{r=1}^{+\infty} \frac{1}{u_{r}}$$

On a

$$Sx \geq (\sum_{r=i}^{j} u_{r}) (\sum_{r=i}^{j} \frac{1}{u_{r}} ) \geq (j-i+1)^{2} $$

Ça donne une première majoration : $$f(x) \leq \binom{\sqrt{Sx}-1}{2} $$

Bien sûr elle est grossière, j'essaie de l'affiner en essayant d'introduire les autres hypothèses mais rien de concluant pour l'instant, des idées ?

[dSP]

J'aurais tendance à commencer par fixer $ i $ et à m'intéresser au plus grand entier naturel $ l(i,x) $ tel que
$ \sum_{k=i}^{i+l(i,x)-1} u_k \leq x $.
Par croissance de $ u $, on a
$ l(i,x)u_i \leq x $.
D'autre part $ f(x)=\sum_{i=1}^{+\infty} l(i,x) $.

Il y a encore du travail à partir de là, mais c'est un bon point de départ.

[oty20]

Merci beaucoup, j'avais déjà essayé cette piste, mais rapidement abandonné parce que j'ai pas réussi à voir directement comment la finir.

C'est vraiment un jolie exo .

Soit $E_{x}$ l'ensemble de couple $(i,j)$ solution, on a:

$$f(x)= |\{ (i,j) \in E_{x}~~: u_{i} \leq A \}| + |\{ (i,j) \in E_{x}~~: u_{i} > A \}|$$

D'une part :

$$|\{ (i,j) \in E_{x}~~: u_{i} > A \}| \leq x \cdot~~ \sum_{u_{i} > A} \frac{1}{u_{i}} $$

Maintenant pour les $i$ avec $u_{i} \leq A$, on majore $$N_{i} \leq |\{i\in \mathbb{N} : ~~u_{i} \leq A\}|+ \frac{x}{A}$$.

L'idée est que dans le pire cas j'aurais sommé tout les $u_{i} \leq A$ et qu'il me reste encore de la place avant d'atteindre $x$ je vais donc pouvoir ajouter quelques termes $u_{j}> A$ pour ces derniers je ne dois pas dépasser $\frac{x}{A}$ d'entre eux. Ainsi,

$$ \displaystyle |\{(i,j)\in E_{x} : u_i \le A\}| \le |\{i\in\mathbb{N} : u_i\le A\}|\cdot \frac{x}{A}+\Big(|\{i \in \mathbb{N} : u_i \le A\}|\Big)^2 $$

On arrive :

$$\frac{f(x)}{x} \leq \frac{|\{i \in \mathbb{N} : u_i \le A\}|}{A} + \frac{\Big(|\{i \in \mathbb{N} : u_i \le A\}|\Big)^2}{x}+\sum_{u_i>A}\frac{1}{u_i} $$

Classiquement $$\lim_{A \to +\infty} \frac{|\{i \in \mathbb{N} : u_i \le A\}|}{A}= 0$$

et on conclut avec un coup d'epsilonage .

[dSP]

Je pense que c'est une fausse piste que d'essayer de comparer $ f(x) $ aux $ x^r $.

Tu devrais plutôt essayer de montrer que $ l(i,x)=o_{x \rightarrow +\infty}(x) $ pour n'importe quel $i$.

[oty20]

Merci beaucoup, oui il fallait adapter, on a réussi tant bien que mal à compléter une solution avec ami. J'ai posté les grandes lignes dans mon précédent poste. Très jolie exo par Paul Erdös, mon préféré du mois.

Auriez-vous une autre approche, si vous vouliez bien la partager ?

[dSP]

Grâce à l'inégalité $ \frac{l(i,x)}{x} \leq \frac{1}{u_i} $, on voit que la série de fonctions
$ \sum_{i \geq 1} \frac{l(i,x)}{x} $ de la variable $ x $ converge normalement sur $ \mathbb{R}_+^* $.

Pour conclure, il suffit donc de remarquer (interversion des limites) que
$ \frac{l(i,x)}{x} $ tend vers $ 0 $ quand $ x $ tend vers $ +\infty $, et ce quel que soit $ i \in \mathbb{N}^* $.
Or on remarque que $ (l(i,x))_{i \geq 1} $ est décroissante pour tout $ x>0 $.
Ainsi, il suffit de montrer le résultat précédent pour $ i=1 $.

On fixe un entier $ p \geq 1 $ et on remarque que si $ l(1,x) \geq p $ alors
$ (l(1,x)-p) u_p \leq \sum_{i=p}{l(1,x)} u_i \leq x $ donc $ \frac{l(1,x)}{p} \leq \frac{1}{u_p}+\frac{p}{x} $
(dans le cas contraire ce résultat est trivialement vrai).

Un argument à la Césaro permet alors de conclure (en remarquant que $ \frac{1}{u_p} $ tend vers $ 0 $ quand $ p $ tend vers $ +\infty $, grâce à la convergence de la série supposée).

Je trouve aussi que c'est une très jolie question.