Inégalité polynôme

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Inégalité polynôme

Message par ROH2F(x) » 14 oct. 2020 15:32

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant : Soit P un polynôme complexe unitaire et z une racine de P. Montrer que max(1,|z|) <= ||P|| avec la norme est la somme des coefficients.

J'ai réussi tout de même à montrer le résultat si |z|>1. Mais le cas |z|<1 n'est pas pareil...
Mon raisonnement c'est d'écrire z^n = - sum pi z^i puis d'utiliser l'inégalité triangulaire.

Quelqu'un voit comment faire ? Merci pour votre aide !

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Re: Inégalité polynôme

Message par JeanN » 14 oct. 2020 20:56

Vu que l'un des coefficients vaut 1, ça ne me semble pas très dur de montrer que 1 est inférieur à la norme de P.
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Re: Inégalité polynôme

Message par Beatboxer » 14 oct. 2020 20:58

Il me semble que l'inégalité à démontrer est |z| <= max{ 1 , ||P||}.
En tout cas, c'est bien d'avoir fait la distinction de cas. T'es sur la bonne voie pour le 2nd cas.
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Re: Inégalité polynôme

Message par prepamath » 14 oct. 2020 21:13

Eh bien, max{ 1 , ||P||} =||P||d'après ce qu'a écrit JeanN
Donc je pense que ROH2F(x) a correctement rapporté l'énoncé

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Re: Inégalité polynôme

Message par JeanN » 14 oct. 2020 21:13

Beatboxer a écrit :
14 oct. 2020 20:58
Il me semble que l'inégalité à démontrer est |z| <= max{ 1 , ||P||}.
En tout cas, c'est bien d'avoir fait la distinction de cas. T'es sur la bonne voie pour le 2nd cas.
Si |z|<1, il n'y a plus rien à démontrer non plus... :)
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Re: Inégalité polynôme

Message par ROH2F(x) » 15 oct. 2020 12:18

En fait je cherchais à apprendre l'exercice classique continuité des racines (mais niveau MP) et j'ai trouvé ce lien : http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivi ... acines.pdf

L'auteur a fait beaucoup d'erreur de copie... Du coup je suis embrouillé. J'ai corrigé la fin de la preuve du théorème 1 mais la début du coup je vois pas ce qui veut faire.

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Re: Inégalité polynôme

Message par JeanN » 15 oct. 2020 16:57

ROH2F(x) a écrit :
15 oct. 2020 12:18
En fait je cherchais à apprendre l'exercice classique continuité des racines (mais niveau MP) et j'ai trouvé ce lien : http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivi ... acines.pdf

L'auteur a fait beaucoup d'erreur de copie... Du coup je suis embrouillé. J'ai corrigé la fin de la preuve du théorème 1 mais la début du coup je vois pas ce qui veut faire.
C'est toi qui nous embrouilles du coup : que veux-tu de nous en fait ?
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