géométrie sphérique

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géométrie sphérique

Message par MosleyCale » 19 oct. 2020 15:04

Voilà un exercice que l'on m'a posé cette année à l'agrég interne de maths : cela consistait à démontrer une formule analogue à la formule d'Al Kashi lorsque 3 points sont sur une sphère (et on retrouve la formule d'Al Kashi lorsque le rayon de la sphère tend vers l'infini).
Je n'ai pas été très brillant et maintenant j'essaye de retrouver la démonstration...sans succès !

Pourrez-vous m'aider?
D'avance merci !

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Re: géométrie sphérique

Message par Hibiscus » 19 oct. 2020 15:59

S'agit-il de la loi $ \cos c = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b \, \cos\gamma, $ dans un "triangle" comme celui-ci ? https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... ations.png

Auquel cas, ca peut se demontrer comme suit :

On prend un "triangle spherique" (je sais pas trop comment ca s'appelle) ABC, dans une sphere (O,1). Un bon vecteur a regarder est $ \vec{OA}-\cos b~\vec{OC} $.
SPOILER:
Alors $ \vec{OA}-\cos b~\vec{OC} $ est tangent en C au cercle passant par A et C.
(parce que dans le plan OAC, et orthogonal a $ \vec{OC} $ par definition.
et $ || \vec{OA}-\cos b~\vec{OC}||=\sin b $
On fait la meme chose avec $ \vec{OB}-\cos a~\vec{OC} $, de norme $ \sin a $

Le produit scalaire des deux vecteurs donne alors $ \sin a \sin b \cos \gamma = \cos c - \cos a \cos b $

On a aussi, si on veut faire joujou $ \cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c $

Effectivement, lorsque le rayon de courbure tend vers l'infini, i.e., abc->0, on retombe sur AlKashi avec un DL. ($ \sin a = a + o(a^2), \cos a = 1 - a^2/2 + o(a^2). $)
pour trouver $ ab\cos \gamma=-\frac{c^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2} $

Note : on peut meme s'amuser a le montrer (et c'est vrai, mais pas amusant du tout...) en geom hyperbolique, avec des pseudospheres (et les sin deviennent des sinh), et c'est vrai aussi en geometrie non euclidienne ou des trucs chelous, il me semble..
Lycée Masséna (Pcsi-PC*) -- École polytechnique (X15) -- PhD Student (Japon, Astrophysique) -- Ingé (spatial)

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