restriction d'un endomorphisme diagonalisable

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restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par mazalouka » 02 nov. 2020 15:09

Bonjour,
je ne vois pas pourquoi la restriction d'un endomorphisme diagonalisable serait elle diagonalisable. Est ce que quelqu’un pourrait m'expliquer ?

H-M

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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par H-M » 02 nov. 2020 16:13

.
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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par prepamath » 02 nov. 2020 16:16

Si tu as comme outil le polynôme minimal $ \mu_f $ de $ f $ endomorphisme,
$ f $ diagonalisable $ \Longleftrightarrow $ $ \mu_f $ scindé simple

Alors en considérant $ g $ l'induit, tu as $ \mu_g $ divise $ \mu_f $ car $ \mu_f(g) = 0 $ donc $ \mu_g $ scindé simple donc $ g $ diagonalisable

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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par Luckyos » 02 nov. 2020 16:22

En fait il n'y a même pas besoin de considèrer précisément le polynôme minimal.
En effet, un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Cette propriété est bien sûr équivalente au fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples mais elle a l'avantage d'alléger les preuves comme celle-ci en considérant un même polynôme pour les deux endomorphismes.
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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par mazalouka » 03 nov. 2020 18:34

je n'ai aucune idée sur ce qu'est un polynôme annulateur ou polynôme minimal, je crois que ça ne fait pas partie du programme de PC. quelqu'un aurait-il une preuve que je puisse comprendre.

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Re: restriction d'un endomorphisme diagonalisable

Message par JeanN » 03 nov. 2020 19:15

mazalouka a écrit :
03 nov. 2020 18:34
je n'ai aucune idée sur ce qu'est un polynôme annulateur ou polynôme minimal, je crois que ça ne fait pas partie du programme de PC. quelqu'un aurait-il une preuve que je puisse comprendre.
Ah, c'est effectivement un défi intéressant.
Je te propose l'énoncé détaillé suivant, qui ne contient aucune trace de polynôme d'endomorphisme ou de matrice :

Soit u un endomorphisme de E diagonalisable et F un sev de E stable par u.

On note $ \lambda_1,...,\lambda_p $ les valeurs propres de u deux à deux distinctes et $ E_1,...,E_p $ les sous-espaces propres associés.

1) Soit $ x\in F $. Justifier qu'il existe une unique liste $ (x_1,...,x_p) \in E_1\times...\times E_p $ telle que $ x=x_1+...+x_p $
On adoptera cette notation dans la suite pour n'importe quel vecteur de F.

2) Pour k entre 1 et p, on définit la propriété $ H_k $ :
"Pour tout y dans F, $ y_1=...=y_k=0_E $ implique $ (y_1,...,y_p)\in F^p $"
Démontrer $ H_k $ pour tout k entre 1 et p par récurrence finie descendante simple.

3) Soit $ x\in F $. En utilisant la question 2, montrer que $ (x_1,...,x_p)\in F^p $

4) En déduire qu'il existe une famille génératrice de F constituée de vecteurs propres de u

5) Conclure

Remarque :
Je crois que les prochains programmes de PC contiendront à nouveau les polynômes d'endomorphismes et de matrices donc ce genre d'acrobatie s'autodétruira.
En attendant j'espère que les amateurs du genre salueront la performance :)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

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