Exponentielle matricielle

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Exponentielle matricielle

Message par ROH2F(x) » 06 nov. 2020 08:33

Bonjour,

Avez vous un exemple simple de matrice carré réelle A tel que A ne s'écrit pas comme un carré M^2 pour A inversible ?

Merci pour votre aide

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Re: Exponentielle matricielle

Message par Mourien » 06 nov. 2020 16:32

On a $$ \begin{pmatrix}
a & b \\ c & d \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix} $$

Si on cherche un antécédent à une matrice diagonale inversible, il faut $ a+d=0 $ ou (sinon) $ b=c=0 $

Si $ a+d=0 $, on a $ a^2+bc=bc+d^2 $. On choisit donc une matrice diagonale non proportionnelle à l'identité. On a alors $ b=c=0 $ puis les coefficients diagonaux sont positifs.


Par conséquent, toute matrice $ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0& \beta \end{pmatrix} $ avec $ \alpha<0,\beta<0,\alpha\neq\beta $ n'a pas de racine carrée et est inversible.

Sauf erreur.
PCSI (si)
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Re: Exponentielle matricielle

Message par Logarithme_Neperien » 06 nov. 2020 23:02

La matrice $ A = \begin{pmatrix}
-1& 0 \\
0& 1
\end{pmatrix} $ est carrée, inversible, mais n'a pas de racine carrée $ M $ dans $ M_2(ℝ) $, car on aurait alors $ -1 = det(A) = det(M^2) = det(M)^2\geq0 $.

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