Soit $ E $ un $ \mathbb R $ espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il n'est pas union dénombrable de sous espaces vectoriels stricts.
J'ai trouvé les contre-exemples suivants en affaiblissant les hypothèses:
Pour un $ \mathbb Q $ ev, on voit que $ E=\bigcup_{(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb Q^n} \operatorname{Vect} \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i $ qui est une union dénombrable de sous espaces vectoriels stricts dès que $ n\ge 2 $.
Pour un espace de dimension infinie (dénombrable) de base $ (x_n) _{n\in\mathbb N} $, on peut poser $ \varphi_n $ la n-ème forme linéaire coordonnée. On a alors $ x=\displaystyle \sum_{(\lambda_n) \in\mathbb R^{(\mathbb N)}} \lambda_nx_n \in \operatorname{ker} \varphi_m $ pour $ m $ non dans le support fini de $ \lambda $. Donc $ E=\bigcup_{n\in \mathbb N} \operatorname{ker} \varphi_n $
Mais je n'ai pas abouti dans la preuve de l'énoncé. J'ai pensé à la variante de cet enoncé où l'union est finie et où l'on prend $ x\in F_0,x\not\in\bigcup_{i=1}^n F_i $ et dualement $ y\in\bigcup_{i=1}^n F_i, y\not\in F_0 $ et on considère les $ x+\lambda y $. Des que le corps est de caractéristique suffisante, on a une contradiction en utilisant le principe de Dirichlet. Je n'ai pas réussi à adapter l'argument ici... Je ne suis pas d'ailleurs convaincu que ce soit la méthode la plus directe !
Je serai ravi si quelqu'un pouvait me donner un indice ! Merci d'avance !