Union dénombrable de sec stricts

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Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 18 nov. 2020 22:53

Bonsoir ! J'essaie de montre l'énoncé suivant:
Soit $ E $ un $ \mathbb R $ espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il n'est pas union dénombrable de sous espaces vectoriels stricts.

J'ai trouvé les contre-exemples suivants en affaiblissant les hypothèses:

Pour un $ \mathbb Q $ ev, on voit que $ E=\bigcup_{(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb Q^n} \operatorname{Vect} \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i $ qui est une union dénombrable de sous espaces vectoriels stricts dès que $ n\ge 2 $.

Pour un espace de dimension infinie (dénombrable) de base $ (x_n) _{n\in\mathbb N} $, on peut poser $ \varphi_n $ la n-ème forme linéaire coordonnée. On a alors $ x=\displaystyle \sum_{(\lambda_n) \in\mathbb R^{(\mathbb N)}} \lambda_nx_n \in \operatorname{ker} \varphi_m $ pour $ m $ non dans le support fini de $ \lambda $. Donc $ E=\bigcup_{n\in \mathbb N} \operatorname{ker} \varphi_n $


Mais je n'ai pas abouti dans la preuve de l'énoncé. J'ai pensé à la variante de cet enoncé où l'union est finie et où l'on prend $ x\in F_0,x\not\in\bigcup_{i=1}^n F_i $ et dualement $ y\in\bigcup_{i=1}^n F_i, y\not\in F_0 $ et on considère les $ x+\lambda y $. Des que le corps est de caractéristique suffisante, on a une contradiction en utilisant le principe de Dirichlet. Je n'ai pas réussi à adapter l'argument ici... Je ne suis pas d'ailleurs convaincu que ce soit la méthode la plus directe !

Je serai ravi si quelqu'un pouvait me donner un indice ! Merci d'avance !
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par JeanN » 19 nov. 2020 00:18

Raisonne par l'absurde, choisis bien x et y (en adaptant le cas finis que tu connais déjà) et montre que chaque $ E_i $ ne peut accueillir qu'au plus un vecteur de la forme $ x+\lambda y $.
Ca devrait suffire pour conclure sauf erreur.
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 19 nov. 2020 00:20

Je viens de penser à une idée qui me semble prometteuse ;

On sait que tout sous espace vectoriel strict est inclus dans un hyperplan (trivial en dimension finie). On se donne alors une suite d'hyperplans $ (H_n) _{n\in\mathbb N} $ tels que $ E=\bigcup_{n\in\mathbb N} H_n $.

On fixe une base de $ E $ de dimension $ d $, et on se donne une équation de chaque hyperplan pour cette base : $ (x_1,\dots,x_d)\in H_n \iff \displaystyle\sum_{i=1}^d \lambda_{i, n} x_i =0 $

Or les $ (\lambda_{i, n} ) _{1\le i\le d, n\in\mathbb N} $ sont dénombrables par produit cartésien fini.

Par indénombrabilté de $ \mathbb R^d $, il existe $ (\mu_1,\dots, \mu_n) $ non atteint. On prend $ (x_1,\dots,x_n)\neq 0 $ dans l'hyperplan associé. Par liberté de la base, $ x $ n'est dans aucun $ H_n $.

Cela me semble correct, il y a-t-il plus court, sans passer par les hyperplans ?

ÉDIT : en fait ça ne marche pas, l'intersection de deux hyperplans n'est pas nécessairement vide ! Peut être il y a t il moyen de choisir d'abord $ \mu_1 $ pour avoir une intersection à tout hyperplan de dimension au plus $ d-2 $, puis de reduire la dimension de 1 à chaque choix de $ \mu_i $?
Dernière modification par Mourien le 19 nov. 2020 00:37, modifié 1 fois.
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 19 nov. 2020 00:25

JeanN a écrit :
19 nov. 2020 00:18
Raisonne par l'absurde, choisis bien x et y (en adaptant le cas finis que tu connais déjà) et montre que chaque $ E_i $ ne peut accueillir qu'au plus un vecteur de la forme $ x+\lambda y $.
Ca devrait suffire pour conclure sauf erreur.
J'avais pensé à prendre $ x\in F_0,x\not\in\bigcup_{n\in\mathbb N^*} F_n $ mais je n'ai pas réussi à justifier l'existence d'un tel objet. Pour une union finie, en excluant les espaces inclus dans un autres, cela ne posait pas de problème. Mais comment justifier une telle démarche pour une union infinie ?
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par JeanN » 19 nov. 2020 00:35

Bien vu.
Si on ne peux pas choisir un tel x même en supprimant les uns après les autres les sev inclus dans la réunion des suivants, il semble rester matière à réfléchir.
Autre idée qui me vient : utiliser la propriété de Baire (les sev stricts sont des fermés d'intérieur vide) mais c'est quand même un peu beaucoup hors programme.
J'avoue qu'il est tard et que je n'ai pas tout compris à la fin de ta preuve : qu'est-ce que c'est que cette liste (x_1,...,x_n) qui serait élément d'un hyperplan ?
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 19 nov. 2020 00:39

Il s'agit abusivement de la notation matricielle en identifiant $ E $ à $ \mathbb R^d $.
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Nabuco » 19 nov. 2020 00:44

Ta conclusion "par liberté de la base" me semble très erronée : en fait ici pas de raison de ne pas avoir x dans un autre hyperplan (surtout que si n>2 les hyperplans auront une intersection non triviale).

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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 19 nov. 2020 01:12

Autre idée qui me vient : quitte à normér l'espace par transport de norme en dimension finie, on peut essayer de construire un suite de points de la sphère unité $ x_n \in \mathcal S $ telle que $ \forall n, x_n \not \in \bigcup_{k=0}^n H_k $. Par compacité (on est en dimension finie), cela converge quitte à prendre une sous suite. Si l'on construit un peu mieux que cela et que l'on impose d'être à distance $ \epsilon_n>0 $ de chaque $ H_n $, la limite n'est dans aucun $ H_n $.

Ça se voit pas mal en 3d !
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par JeanN » 19 nov. 2020 11:10

Mourien a écrit :
19 nov. 2020 01:12
Autre idée qui me vient : quitte à normér l'espace par transport de norme en dimension finie, on peut essayer de construire un suite de points de la sphère unité $ x_n \in \mathcal S $ telle que $ \forall n, x_n \not \in \bigcup_{k=0}^n H_k $. Par compacité (on est en dimension finie), cela converge quitte à prendre une sous suite. Si l'on construit un peu mieux que cela et que l'on impose d'être à distance $ \epsilon_n>0 $ de chaque $ H_n $, la limite n'est dans aucun $ H_n $.

Ça se voit pas mal en 3d !
Ca doit revenir au même que de démontrer la propriété de Baire dans le cas d'un espace de dimension finie (en utilisant le critère de convergence d'une suite par absolue convergence de la série télescopique associée).

Considère le complémentaire de chaque sev : c'est un ouvert dense, que tu peux noter U_n.
Si tu montres que l'intersection des Un est dense, elle sera a fortiori non vide et donc la réunion sera une partie stricte de E.

Considère donc e dans E et r>0 et montre que l'intersection des Un avec B(e,r) est non vide.
Pour cela, tu peux profiter de la densité de chaque Un et aussi du caractère ouvert pour construire une suite de points judicieuse, convergente, dont la limite sera un élément de ta grosse intersection.
Bon courage :)
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Message par Mourien » 19 nov. 2020 13:16

Cela se ramène au théorème de Baire alors.
SPOILER:
On note $ H_n $ les sous espaces vectoriels, fermés en dimensions finis, et $ U_n $ leurs complémentaires ouverts, denses car chaque sous espace vectoriel est strict.

On se donne $ e\in E, r>0 $
Par densité, il existe $ x_0 \in U_0\cap B(e,r) $. Or $ U_0 $est ouvert donc il y a même une boule $ B(x_0,r_0)\subset B(e,r) $ (quitte à prendre $ x_0 $ encore plus proche de $ e $)

On recommence avec la nouvelle boule par densité. On construits ainsi une suite de boules emboîtées , que l'on choisit fermées. Une intersection de compacts non vides emboîtés est non vide : on peut prendre $ x_n\in K_n $ en particulier, $ x_n\in K_0 $, on se donne alors une valeur d'adhérence$ l, x_{\varphi(n)} \rightarrow l $. Cette suite extraite est à valeurs dans tout $ K_n $ a partir d'un certain rang donc par compacité la limite $ l\in K_n $.
Quelqu'un a-t-il une idée ne s'appuyant pas sur de la topologie ?
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