Bonjour
Prouvez vous m’aider sur cet énoncé
Soit f croissante sur [a,b] qui prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b)
On considère x0 € ]a,b[ , on pose a = limite à gauche de x0 de f et on suppose que a < f(x0).
1/soit y €]a,f(x0)[ et c €]a,x0[ tel que y=f(c) , montrer que f(c) <=a
2/qu’en déduit on ?
1/ on a f croissante , donc lim à gauche de x0 de f(x) = sup(f) sur ]a,x0[ = a
Donc a est un majorant de f sur ]a, x0[
D’où f(c) <= a
2/ on a y€]a,f(x0)[ donc f(c)>a ==> f(c)>=a
Donc f(c)=a
Et la je n’arrive pas vraiment à conclure
J’imagine que je dois déduire la définition de la continuité à droite
D’où la supposition sur a,
Pouvez vous me donner des indications
Merci
Limite à gauche
Re: Limite à gauche
Déjà attention aux notations, il y a deux objets différents qui s'appellent $ a $ dans ce que t'as écrit, une notation du genre $ l $ serait plus appropriée pour la limite.
Pour le "qu'en déduit-on", tu es passé à côté de ce qui est important, à savoir $ f(c) > a $ et non pas $ f(c) \geq a $.
Pour le "qu'en déduit-on", tu es passé à côté de ce qui est important, à savoir $ f(c) > a $ et non pas $ f(c) \geq a $.
X2018
Re: Limite à gauche
Bonjour
En effet pour la limite elle est égale à alpha ( je n’arrive pas à l’écrire avec mon clavier)
Sinon avec f(c)>alpha , c’est une contradiction avec la question précédente,
Donc la supposition est fausse , cad alpha >= f(x0)
Dois je comprendre qu’une question intermédiaire me demandant de montrer que alpha <=f(x0) par l’absurde, n’a pas ete énoncé explicitement ?
En effet pour la limite elle est égale à alpha ( je n’arrive pas à l’écrire avec mon clavier)
Sinon avec f(c)>alpha , c’est une contradiction avec la question précédente,
Donc la supposition est fausse , cad alpha >= f(x0)
Dois je comprendre qu’une question intermédiaire me demandant de montrer que alpha <=f(x0) par l’absurde, n’a pas ete énoncé explicitement ?
Re: Limite à gauche
Tu n'as pas besoin de raisonner par l'absurde pour montrer que $ \alpha \leq f(x_0) $, c'est la partie facile tu verras. L'énoncé suppose que c'est clair pour le lecteur qu'il n'y a que les cas $ \alpha < f(x_0) $ et $ \alpha = f(x_0) $ en quelque sorte.
X2018
Re: Limite à gauche
Bonjour
Je n’arrive pas à voir pourquoi uniquement les deux derniers cas sont possibles, pouvez vous m’expliquer un peu plus ? Est ce que ça vient de la croissance ? Ou bien encore du fait que f prend toutes les valeurs en f(a) et f(b) ( qui signifie la continuité, n’est-ce pas?)
Merci
Je n’arrive pas à voir pourquoi uniquement les deux derniers cas sont possibles, pouvez vous m’expliquer un peu plus ? Est ce que ça vient de la croissance ? Ou bien encore du fait que f prend toutes les valeurs en f(a) et f(b) ( qui signifie la continuité, n’est-ce pas?)
Merci
Re: Limite à gauche
Par croissance de $ f $ alors pour tout $ x < x_0 $ on a $ f(x) \leq f(x_0) $.
Donc par passage à la limite quand $ x $ tend vers $ x_0^- $ on obtient $ \alpha \leq f(x_0) $.
Ainsi il ne reste que deux cas : soit on a égalité, soit l'inégalité est stricte. La question 1 montre qu'on aboutit à une contradiction en supposant que l'inégalité est stricte, c'est donc qu'il y a égalité.
Attention le fait que $ f $ prenne toutes les valeurs entre $ f(a) $ et $ f(b) $ ne signifie pas la continuité !
Pour une fonction $ f $ continue quelconque sur $ [a, b] $ alors c'est une conséquence de la continuité (par le théorème des valeurs intermédiaires) mais la réciproque est fausse en général.
L'objet de cet exercice est de montrer que si on suppose $ f $ croissante alors la réciproque est vraie.
Donc par passage à la limite quand $ x $ tend vers $ x_0^- $ on obtient $ \alpha \leq f(x_0) $.
Ainsi il ne reste que deux cas : soit on a égalité, soit l'inégalité est stricte. La question 1 montre qu'on aboutit à une contradiction en supposant que l'inégalité est stricte, c'est donc qu'il y a égalité.
Attention le fait que $ f $ prenne toutes les valeurs entre $ f(a) $ et $ f(b) $ ne signifie pas la continuité !
Pour une fonction $ f $ continue quelconque sur $ [a, b] $ alors c'est une conséquence de la continuité (par le théorème des valeurs intermédiaires) mais la réciproque est fausse en général.
L'objet de cet exercice est de montrer que si on suppose $ f $ croissante alors la réciproque est vraie.
X2018