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Message par ROH2F(x) » 23 nov. 2020 13:37

Bonjour,


Question : On considère E le R-espace vectoriel des fonctions f : [0; 1] -> R de classe C^1 vérifiant f(0) = f(1) = 0:
Déterminer les valeurs de c pour lesquelles il existe une fonction f de E vérifiant f = - c f''.

Ma réponse : Je vais résoudre l'équation différentielle f + c f'' = 0 de polynôme caractéristique P(X) = 1 + c X^2.
Si c = 0 alors f est constante et vu les valeurs en 0 et 1 en fait f est nulle.
Si c différent de 0 alors les racines de P sont distincts r1 et r2:
Si c < 0 racine(-1/c), - racine(-1/c)
Si c > 0 i racine(1/c), -i racine(1/c)
Donc r1 = -r2

D'après le cours, f(t)= Aexp(r1t) + Bexp(r2t) avec A, B complexes. et donc f(0) = A+B d'où A=-B et f(t) = A(exp(r1t) - exp(-r1t))

Si c >0 alors f(t) = 2A sh(r1t) mais dans ce cas, f(1)=0 implique A = 0 donc ça ne compte pas parce que la solution nulle c'est cadeau, c'est noël.

Si c<0 alors f(t)=2Ai sin(r1t)
Mais comme f est réelle, C = 2Ai est réelle.
D'où f(t)=C sin(r1t) alors f(1) =0 implique r1 = kpi d'où -1/c = (kpi)^2 donc c = -1/(kpi)^2

Mon erreur c'est que c = (kpi)^2 mais je ne comprend pas où elle est. Pourtant j'ai bien détaillé...

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Re: EDL2

Message par Luckyos » 23 nov. 2020 15:55

Au-délà du fait que la question initiale est triviale (en l'état) puisque la fonction nulle convient pour tout c, l'erreur est dans l'argument du sinus.
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