maths intégrale

[Charles Lambert]

Bonjour, je voudrais savoir s'il est possible de calculer l'intégrale de (x^n)/(1+x^n) pour x allant de 0 à 1.

J'ai déjà essayé une IPP en décomposant le numérateur en x*x^(n-1), mais cela me fait tourner en rond donc je ne trouve pas de valeur.

J'ai également essayer en écrivant le numérateur comme x^n +1-1, dû coup il me reste à calculer l'intégrale de 1/(1+x^n) que je n'arrive pas à calculer, elle ressemble à la dérivée d'Arctan à l'exposant près. Est-ce que je peux effectuer une décomposition en élément simple ?

Merci de votre réponse

[JeanN]

Pas de formule simple à ma connaissance.
Mais tu peux toujours faire une DES dans C par exemple et intégrer les éléments simples.

[Charles Lambert]

Merci, je vais essayer

[V@J]

En pratique, cependant, tu risques d'avoir un résultat dont la dépendance en n est assez laide. Typiquement, en procédant comme le suggère JeanN, j'obtiens l'expression suivante, que je ne suis pas parvenu à simplifier :

SPOILER:

$$ 1 - \frac{\pi}{2 n \sin(\pi / n)} + \frac{1}{2 n} \sum_{k=0}^{n-1} \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right) \ln\left(1 - \cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{n}\right)\right) $$

[autobox]

Il y a aussi une formule plus simple $$ \int_0^1 \dfrac{x^n}{1+x^n}dx = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}}{kn+1} $$
Tu peux l'obtenir en permutant somme et intégrale (en justifiant proprement pourquoi) et en écrivant (à justifier) que $$ \dfrac{1}{1+x^n} = \dfrac{1}{1-(-x^n)} = \sum_{k=0}^\infty (-x^n)^k $$


Si tu veux avoir à éviter de t'expliquer sur l'interversion, note $$ G_n(t) := \int_0^t \dfrac{x^n}{1+x^n}dx $$ pour tous n et t, et $$ G_{q,n}(t) := \int_0^t \dfrac{x^{q}}{1+x^n}dx $$ pour tous q, n, t.

Maintenant fixe n.
Montre (facile) que G(q,n) est positive et majorée par 1/(q+1), donc tend vers 0.
Montre par récurrence sur p que $$ G_{2^pn,n}(1) = -G_n(1) + \sum_{k=1}^{2^p-1} \dfrac{(-1)^{k+1}}{kn+1} $$
Indice :

SPOILER:

$$ \dfrac{x^{2n}-1}{1+x^n} = \dfrac{(x^n-1)(x^n+1)}{1+x^n} = x^n-1 $$

Enfin, fais tendre p vers l'infini (+ critère de CV des séries alternées décroissantes tendant vers 0 en module) pour montrer que $$ G_n(1) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1}}{kn+1} $$

Désolé pour les formules centrées, c'est le site qui est mal codé et refuse de mélanger ctex et tex dans un même sujet

[fakbill]

(-HarmonicNumber[1/2 (-1 + 1/n)] + HarmonicNumber[1/(2 n)])/(2 n)
autant dire que mathematica n'en pense rien