Théorème de la limite monotone (fonction)

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Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par Yosh2 » 04 déc. 2020 15:41

Bonjour
J’ai du mal à saisir l’énoncé de ce théorème qui dit que « tout fonction réelle monotone sur un ouvert I , admet en tout point de I une limite à droite et une limite à gauche.
1/les limites à droite et à gauche sont elles egales ?
2/la fonction doit elle être continue ?
3/a quoi ressemblerait une fonction qui ne vérifie pas les deux conditions précédentes ?
4/ a t on limite à droite>= limite à gauche ? Si oui comment le démontrer ?
5/pouvez me donner un cas d’utilisation?
6/que se passe t il dans le cas de la stricte monotonie ?
7/ce théorème est il l’équivalent du théorème de la limite monotone pour les suites?
Merci

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Re: Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par Luckyos » 04 déc. 2020 18:30

1, 2 et 3 : f(x) = 0 si x < 0 et 1 sinon
4 : on a f(x) <= f(a) si x < a (si f est croissante) donc la limite à gauche en a est inférieure à la valeur en a par passage à la limite. De même, la limite à droite en a est supérieure à la valeur en a. Si f est décroissante le sens des inégalités change.
5 : tout de suite j'ai pas d'exemple simple dsl
6 : on ne peut rien dire de plus : les limites à droite et à gauche peuvent encore être différentes et la fonction n'est pas forcément continue (f(x) = x si x < 0 et x + 1 sinon)
7 : oui, c'est juste que pour les suites on ne peut que parler de limite en + l'infini. Je rajouterais qu'aux bornes (potentiellement infinies) de l'intervalle ouvert I f admet aussi une limite (potentiellement infinie).

On va prendre f croissante et I = ]c, + infini[ puis a dans I.

Sur ]c, a[, f est croissante et majorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à gauche en a (ça ressemble aux suites là).
Sur ]a, + infini[, f est croissante et minorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à droite en a (la différence avec les suites c'est que l'endroit où on étudie la limite est à gauche du domaine de définition, il faut donc un minorant pour coincer f à gauche puisqu'elle est croissante).

De plus, f admet une limite en + l'infini. Si f est majorée, cette limite est finie. Sinon, c'est + l'infini. Là aucune différence avec les suites.
Enfin, f admet une limite à droite en c. Si f est minorée (on est à gauche du domaine), cette limite est finie. SInon c'est - l'infini.
Dernière modification par Luckyos le 04 déc. 2020 18:51, modifié 1 fois.
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Re: Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par versionpatch » 04 déc. 2020 18:40

Pour la 5éme question, une application de ce théoréme est la démonstration que la réciproque d'une bijection continue d'un intervalle de R dans un intervalle de R est continue.
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Re: Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par Yosh2 » 06 déc. 2020 16:31

Luckyos a écrit :
04 déc. 2020 18:30
1, 2 et 3 : f(x) = 0 si x < 0 et 1 sinon
4 : on a f(x) <= f(a) si x < a (si f est croissante) donc la limite à gauche en a est inférieure à la valeur en a par passage à la limite. De même, la limite à droite en a est supérieure à la valeur en a. Si f est décroissante le sens des inégalités change.
5 : tout de suite j'ai pas d'exemple simple dsl
6 : on ne peut rien dire de plus : les limites à droite et à gauche peuvent encore être différentes et la fonction n'est pas forcément continue (f(x) = x si x < 0 et x + 1 sinon)
7 : oui, c'est juste que pour les suites on ne peut que parler de limite en + l'infini. Je rajouterais qu'aux bornes (potentiellement infinies) de l'intervalle ouvert I f admet aussi une limite (potentiellement infinie).

On va prendre f croissante et I = ]c, + infini[ puis a dans I.

Sur ]c, a[, f est croissante et majorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à gauche en a (ça ressemble aux suites là).
Sur ]a, + infini[, f est croissante et minorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à droite en a (la différence avec les suites c'est que l'endroit où on étudie la limite est à gauche du domaine de définition, il faut donc un minorant pour coincer f à gauche puisqu'elle est croissante).

De plus, f admet une limite en + l'infini. Si f est majorée, cette limite est finie. Sinon, c'est + l'infini. Là aucune différence avec les suites.
Enfin, f admet une limite à droite en c. Si f est minorée (on est à gauche du domaine), cette limite est finie. SInon c'est - l'infini.
Bonjour
merci pour vos réponses , cependant pour les 1,2 et 3 , je serais tenté de dire que la fct que vous propose n’est pas monotone , est ce vrai?
Les fonctions constante sont elles monotone ?
Les fonctions constante sont elles croissante et décroissante en même temps ? Si oui étant donné que la définition de monotone est « une fonction qui est croissante ou décroissante » le « ou » de cette définition n’exclut pas les fonctions constante qui sont décroissante « et » croissante ?
Merci

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Re: Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par Yosh2 » 06 déc. 2020 16:36

versionpatch a écrit :
04 déc. 2020 18:40
Pour la 5éme question, une application de ce théoréme est la démonstration que la réciproque d'une bijection continue d'un intervalle de R dans un intervalle de R est continue.
Merci,
Je crois également avoir trouvé un autre exemple à savoir , pour montrer qu’une fonction convexe admet une dérivée à droite et à gauche en tout point de I

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Re: Théorème de la limite monotone (fonction)

Message par Luckyos » 06 déc. 2020 18:36

Yosh2 a écrit :
06 déc. 2020 16:31
Bonjour
merci pour vos réponses , cependant pour les 1,2 et 3 , je serais tenté de dire que la fct que vous propose n’est pas monotone , est ce vrai?
Les fonctions constante sont elles monotone ?
Les fonctions constante sont elles croissante et décroissante en même temps ? Si oui étant donné que la définition de monotone est « une fonction qui est croissante ou décroissante » le « ou » de cette définition n’exclut pas les fonctions constante qui sont décroissante « et » croissante ?
Merci
Déjà "P ou Q" en maths ça veut dire qu'on est dans une des 3 possibilités : seul P est vrai, seul Q est vrai ou encore P et Q sont vrais. C'est une définition de base en logique, c'est très important.
Il ne faut pas confondre avec le "ou" de la vie courante (que l'on appelle "ou exclusif" en logique puisqu'il exclut le cas ou P et Q sont vrais).

Donc une fonction qui est croissante et décroissante (et donc constante) est bien monotone.

La fonction que j'ai donnée en réponse à tes 3 premières questions est croissante : si tu prends x et y deux réels tel que x <= y :
-si x et y sont strictement négatif alors f(x) = 0 = f(y)
-si x et y sont positifs alors f(x) = 1 = f(y)
-si x est strictement négatif et y est positif alors f(x) = 0 <= 1 = f(y)
-on ne peut pas avoir x positif et y strictement négatif car x <= y
Dans tous les cas on a bien f(x) <= f(y) donc f est croissante. Puisque f est croissante, elle est donc monotone.
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