Théorème de la limite monotone (fonction)
Théorème de la limite monotone (fonction)
Bonjour
J’ai du mal à saisir l’énoncé de ce théorème qui dit que « tout fonction réelle monotone sur un ouvert I , admet en tout point de I une limite à droite et une limite à gauche.
1/les limites à droite et à gauche sont elles egales ?
2/la fonction doit elle être continue ?
3/a quoi ressemblerait une fonction qui ne vérifie pas les deux conditions précédentes ?
4/ a t on limite à droite>= limite à gauche ? Si oui comment le démontrer ?
5/pouvez me donner un cas d’utilisation?
6/que se passe t il dans le cas de la stricte monotonie ?
7/ce théorème est il l’équivalent du théorème de la limite monotone pour les suites?
Merci
J’ai du mal à saisir l’énoncé de ce théorème qui dit que « tout fonction réelle monotone sur un ouvert I , admet en tout point de I une limite à droite et une limite à gauche.
1/les limites à droite et à gauche sont elles egales ?
2/la fonction doit elle être continue ?
3/a quoi ressemblerait une fonction qui ne vérifie pas les deux conditions précédentes ?
4/ a t on limite à droite>= limite à gauche ? Si oui comment le démontrer ?
5/pouvez me donner un cas d’utilisation?
6/que se passe t il dans le cas de la stricte monotonie ?
7/ce théorème est il l’équivalent du théorème de la limite monotone pour les suites?
Merci
Re: Théorème de la limite monotone (fonction)
1, 2 et 3 : f(x) = 0 si x < 0 et 1 sinon
4 : on a f(x) <= f(a) si x < a (si f est croissante) donc la limite à gauche en a est inférieure à la valeur en a par passage à la limite. De même, la limite à droite en a est supérieure à la valeur en a. Si f est décroissante le sens des inégalités change.
5 : tout de suite j'ai pas d'exemple simple dsl
6 : on ne peut rien dire de plus : les limites à droite et à gauche peuvent encore être différentes et la fonction n'est pas forcément continue (f(x) = x si x < 0 et x + 1 sinon)
7 : oui, c'est juste que pour les suites on ne peut que parler de limite en + l'infini. Je rajouterais qu'aux bornes (potentiellement infinies) de l'intervalle ouvert I f admet aussi une limite (potentiellement infinie).
On va prendre f croissante et I = ]c, + infini[ puis a dans I.
Sur ]c, a[, f est croissante et majorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à gauche en a (ça ressemble aux suites là).
Sur ]a, + infini[, f est croissante et minorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à droite en a (la différence avec les suites c'est que l'endroit où on étudie la limite est à gauche du domaine de définition, il faut donc un minorant pour coincer f à gauche puisqu'elle est croissante).
De plus, f admet une limite en + l'infini. Si f est majorée, cette limite est finie. Sinon, c'est + l'infini. Là aucune différence avec les suites.
Enfin, f admet une limite à droite en c. Si f est minorée (on est à gauche du domaine), cette limite est finie. SInon c'est - l'infini.
4 : on a f(x) <= f(a) si x < a (si f est croissante) donc la limite à gauche en a est inférieure à la valeur en a par passage à la limite. De même, la limite à droite en a est supérieure à la valeur en a. Si f est décroissante le sens des inégalités change.
5 : tout de suite j'ai pas d'exemple simple dsl
6 : on ne peut rien dire de plus : les limites à droite et à gauche peuvent encore être différentes et la fonction n'est pas forcément continue (f(x) = x si x < 0 et x + 1 sinon)
7 : oui, c'est juste que pour les suites on ne peut que parler de limite en + l'infini. Je rajouterais qu'aux bornes (potentiellement infinies) de l'intervalle ouvert I f admet aussi une limite (potentiellement infinie).
On va prendre f croissante et I = ]c, + infini[ puis a dans I.
Sur ]c, a[, f est croissante et majorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à gauche en a (ça ressemble aux suites là).
Sur ]a, + infini[, f est croissante et minorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à droite en a (la différence avec les suites c'est que l'endroit où on étudie la limite est à gauche du domaine de définition, il faut donc un minorant pour coincer f à gauche puisqu'elle est croissante).
De plus, f admet une limite en + l'infini. Si f est majorée, cette limite est finie. Sinon, c'est + l'infini. Là aucune différence avec les suites.
Enfin, f admet une limite à droite en c. Si f est minorée (on est à gauche du domaine), cette limite est finie. SInon c'est - l'infini.
Dernière modification par Luckyos le 04 déc. 2020 18:51, modifié 1 fois.
X2018
Re: Théorème de la limite monotone (fonction)
Pour la 5éme question, une application de ce théoréme est la démonstration que la réciproque d'une bijection continue d'un intervalle de R dans un intervalle de R est continue.
2018/2020 : MPSI/MP*
X2020
X2020
Re: Théorème de la limite monotone (fonction)
BonjourLuckyos a écrit : ↑04 déc. 2020 18:301, 2 et 3 : f(x) = 0 si x < 0 et 1 sinon
4 : on a f(x) <= f(a) si x < a (si f est croissante) donc la limite à gauche en a est inférieure à la valeur en a par passage à la limite. De même, la limite à droite en a est supérieure à la valeur en a. Si f est décroissante le sens des inégalités change.
5 : tout de suite j'ai pas d'exemple simple dsl
6 : on ne peut rien dire de plus : les limites à droite et à gauche peuvent encore être différentes et la fonction n'est pas forcément continue (f(x) = x si x < 0 et x + 1 sinon)
7 : oui, c'est juste que pour les suites on ne peut que parler de limite en + l'infini. Je rajouterais qu'aux bornes (potentiellement infinies) de l'intervalle ouvert I f admet aussi une limite (potentiellement infinie).
On va prendre f croissante et I = ]c, + infini[ puis a dans I.
Sur ]c, a[, f est croissante et majorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à gauche en a (ça ressemble aux suites là).
Sur ]a, + infini[, f est croissante et minorée par f(a) (par croissance de f). Donc f admet une limite à droite en a (la différence avec les suites c'est que l'endroit où on étudie la limite est à gauche du domaine de définition, il faut donc un minorant pour coincer f à gauche puisqu'elle est croissante).
De plus, f admet une limite en + l'infini. Si f est majorée, cette limite est finie. Sinon, c'est + l'infini. Là aucune différence avec les suites.
Enfin, f admet une limite à droite en c. Si f est minorée (on est à gauche du domaine), cette limite est finie. SInon c'est - l'infini.
merci pour vos réponses , cependant pour les 1,2 et 3 , je serais tenté de dire que la fct que vous propose n’est pas monotone , est ce vrai?
Les fonctions constante sont elles monotone ?
Les fonctions constante sont elles croissante et décroissante en même temps ? Si oui étant donné que la définition de monotone est « une fonction qui est croissante ou décroissante » le « ou » de cette définition n’exclut pas les fonctions constante qui sont décroissante « et » croissante ?
Merci
Re: Théorème de la limite monotone (fonction)
Merci,versionpatch a écrit : ↑04 déc. 2020 18:40Pour la 5éme question, une application de ce théoréme est la démonstration que la réciproque d'une bijection continue d'un intervalle de R dans un intervalle de R est continue.
Je crois également avoir trouvé un autre exemple à savoir , pour montrer qu’une fonction convexe admet une dérivée à droite et à gauche en tout point de I
Re: Théorème de la limite monotone (fonction)
Déjà "P ou Q" en maths ça veut dire qu'on est dans une des 3 possibilités : seul P est vrai, seul Q est vrai ou encore P et Q sont vrais. C'est une définition de base en logique, c'est très important.Yosh2 a écrit : ↑06 déc. 2020 16:31Bonjour
merci pour vos réponses , cependant pour les 1,2 et 3 , je serais tenté de dire que la fct que vous propose n’est pas monotone , est ce vrai?
Les fonctions constante sont elles monotone ?
Les fonctions constante sont elles croissante et décroissante en même temps ? Si oui étant donné que la définition de monotone est « une fonction qui est croissante ou décroissante » le « ou » de cette définition n’exclut pas les fonctions constante qui sont décroissante « et » croissante ?
Merci
Il ne faut pas confondre avec le "ou" de la vie courante (que l'on appelle "ou exclusif" en logique puisqu'il exclut le cas ou P et Q sont vrais).
Donc une fonction qui est croissante et décroissante (et donc constante) est bien monotone.
La fonction que j'ai donnée en réponse à tes 3 premières questions est croissante : si tu prends x et y deux réels tel que x <= y :
-si x et y sont strictement négatif alors f(x) = 0 = f(y)
-si x et y sont positifs alors f(x) = 1 = f(y)
-si x est strictement négatif et y est positif alors f(x) = 0 <= 1 = f(y)
-on ne peut pas avoir x positif et y strictement négatif car x <= y
Dans tous les cas on a bien f(x) <= f(y) donc f est croissante. Puisque f est croissante, elle est donc monotone.
X2018