Equation fonctionnelle, séries de fonctions

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Equation fonctionnelle, séries de fonctions

Message par Mourien » 16 déc. 2020 21:27

Bonsoir, je cherche à résoudre cet exercice de mon td séries de fonctions :
Soit $ f\in C(\mathbb R, \mathbb R) $ telle que $ \forall x \in \mathbb R, f(x+1)=f(x)+2 $. Montrer qu'il existe $ h\in C(\mathbb R, \mathbb R) $ telle que $ h\circ f =2 h $ et $ \forall x \in \mathbb R, h(x+1)=h(x)+1 $.
J'ai pensé aux séries de fonctions $ S_1(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {f^n(x)} {2^n} $ et $ S_2(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{f(nx)}{n2^{1+n}} $

Définies pour tout $ x\in[0,1] $.
Pour $ S_2 $, elle converge normalement : $ f(nx) \leq 2[nx]+M\leq 2nx+2+M $ avec $ M=sup_{[0,1]} f $ par compacité.
Pour $ S_1 $, $ f^n(x) \leq (2^n-1)M $ ce qui ne suffit pas pour la convergence...
On fait ensuite le prolongement naturel sur $ \mathbb R $, de sorte à vérifier la seconde relation (motif récurrent répèté modulo une constante).

Il s'agit alors de vérifier que $ S(0)+1=S(1) $ et on aura la continuité.

C'est le cas pour $ S_2 $ mais ce n'est pas aussi clair pour $ S_1 $.

Tandis que $ S_1(f(x))=2(S_1(x)-x) $, c'est presque ce que l'on veut. C'est moins clair pour $ S_2 $.

La série cherchée peut elle s'obtenir en combinant ces résultats partiels ?

Merci d'avance !

/edit sur les convergences/
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Re: Equation fonctionnelle, séries de fonctions

Message par prepamath » 17 déc. 2020 02:00

Pour $ f : x \in \mathbb{R} \mapsto 2x \in \mathbb{R} $, c'est perdu pour la convergence de $ S_1 $, non ?

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Re: Equation fonctionnelle, séries de fonctions

Message par Mourien » 17 déc. 2020 10:23

En effet mais je cherchais surtout à résoudre $ h\circ f=2h $ et sans employer les itérés de f cela me semble compliqué...
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Re: Equation fonctionnelle, séries de fonctions

Message par prepamath » 20 déc. 2020 19:34

Hello !

Je trouvais que tes idées étaient plutôt bonnes mais je pense qu'il fallait une idée supplémentaire pour sortir du tatonnage.
Voilà comment j'ai réfléchi :

On cherche $ h $ tel que $ \frac{h \circ f}{2} = h $. Autrement dit tel que $ h $ soit point fixe de $ h \mapsto \frac{h \circ f}{2} $.

Or, pour exhiber les points fixes d'une fonction $ \phi $, un truc qui fonctionne bien c'est de considérer la limite de la suite $ u_{n+1} = \phi(u_n) $

Ici on voudrait considérer la limite de $ ( \frac{f^n}{2^n}) $. Donc considérons la série de fonctions : $ h : x \mapsto \sum_{n \geq 0} \left(\frac{f^{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{f^n}{2^n}\right) + x $ ( je te laisse réfléchir à la façon d'où cette série de fonction sort. )

On vérifie que :

$ h(f(x)) = 2 \sum_{n \geq 1} \left(\frac{f^{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{f^n}{2^n}\right) + f(x) = 2h(x) $

$ h(x+1) = h(x)+1 $

Reste à étudier la convergence... ce qui revient à étudier la convergence pour $ x\in [0,1] $ de $ ( \frac{f^n(x)}{2^n}) $. Je te laisse y réfléchir mais n'hésite pas si tu as besoin !

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