Equation fonctionnelle, séries de fonctions
Publié : 16 déc. 2020 21:27
Bonsoir, je cherche à résoudre cet exercice de mon td séries de fonctions :
Définies pour tout $ x\in[0,1] $.
Pour $ S_2 $, elle converge normalement : $ f(nx) \leq 2[nx]+M\leq 2nx+2+M $ avec $ M=sup_{[0,1]} f $ par compacité.
Pour $ S_1 $, $ f^n(x) \leq (2^n-1)M $ ce qui ne suffit pas pour la convergence...
On fait ensuite le prolongement naturel sur $ \mathbb R $, de sorte à vérifier la seconde relation (motif récurrent répèté modulo une constante).
Il s'agit alors de vérifier que $ S(0)+1=S(1) $ et on aura la continuité.
C'est le cas pour $ S_2 $ mais ce n'est pas aussi clair pour $ S_1 $.
Tandis que $ S_1(f(x))=2(S_1(x)-x) $, c'est presque ce que l'on veut. C'est moins clair pour $ S_2 $.
La série cherchée peut elle s'obtenir en combinant ces résultats partiels ?
Merci d'avance !
/edit sur les convergences/
J'ai pensé aux séries de fonctions $ S_1(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac {f^n(x)} {2^n} $ et $ S_2(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{f(nx)}{n2^{1+n}} $Soit $ f\in C(\mathbb R, \mathbb R) $ telle que $ \forall x \in \mathbb R, f(x+1)=f(x)+2 $. Montrer qu'il existe $ h\in C(\mathbb R, \mathbb R) $ telle que $ h\circ f =2 h $ et $ \forall x \in \mathbb R, h(x+1)=h(x)+1 $.
Définies pour tout $ x\in[0,1] $.
Pour $ S_2 $, elle converge normalement : $ f(nx) \leq 2[nx]+M\leq 2nx+2+M $ avec $ M=sup_{[0,1]} f $ par compacité.
Pour $ S_1 $, $ f^n(x) \leq (2^n-1)M $ ce qui ne suffit pas pour la convergence...
On fait ensuite le prolongement naturel sur $ \mathbb R $, de sorte à vérifier la seconde relation (motif récurrent répèté modulo une constante).
Il s'agit alors de vérifier que $ S(0)+1=S(1) $ et on aura la continuité.
C'est le cas pour $ S_2 $ mais ce n'est pas aussi clair pour $ S_1 $.
Tandis que $ S_1(f(x))=2(S_1(x)-x) $, c'est presque ce que l'on veut. C'est moins clair pour $ S_2 $.
La série cherchée peut elle s'obtenir en combinant ces résultats partiels ?
Merci d'avance !
/edit sur les convergences/