Inégalités et limite de suites

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Inégalités et limite de suites

Message par Yosh2 » 17 déc. 2020 20:47

Bonjour
Je bloque sur la question suivante
Vn =1/n+1*somme(Uk) avec k de 0 à n
Un converge vers l
Soit p €N
Mq pour tout n>=p+1 |Vn-l|<= (p+1)/(n+1)* max|Uk-l|Avec k de 0 à p +max|Uk-l| avec k de p+1 a n

J’ai essayé de partir du terme de gauche en séparant la somme comme les max puis en utilisant l’inégalité triangulaire mais la présence d’un seul l m’empêche de le faire entrer dans la somme.
De plus je ne sais vraiment pas comment faire pour faire apparaître les max.
J’ai également pensé à commencer par la définition de la limite puis prendre epsilon =p+1 mais la encore j’ai du mal à faire apparaître le Vn ou encore les max
Merci pour votre aide

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Re: Inégalités et limite de suites

Message par prepamath » 20 déc. 2020 19:01

Bonjour !
Tu dictes les bonnes pistes, je ne comprends pas où est ton problème exactement.


$ V_{n} - \ell = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n u_k - \ell = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n (u_k - \ell) = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^p (u_k - \ell) + \frac{1}{n+1}\sum_{k=p+1}^n (u_k - \ell) $

D'où :

$ |V_{n} - \ell| \leq \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^p \max_{0 \leq k \leq p } |u_k - \ell| + \frac{1}{n+1}\sum_{k=p+1}^n \max_{p+1 \leq k \leq n } |u_k - \ell| \leq \frac{p+1}{n+1}\max_{0 \leq k \leq p } |u_k - \ell| + \frac{n-p}{n+1}\max_{p+1 \leq k \leq n } \leq \frac{p+1}{n+1}\max_{0 \leq k \leq p } |u_k - \ell| + \max_{p+1 \leq k \leq n }|u_k - \ell| $

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Re: Inégalités et limite de suites

Message par Yosh2 » 21 déc. 2020 22:08

En effet je me demandais comment faire pour faire rentrer le l dans la somme , je n’avais pas remarqué que le 1 devant pouvait s’écrit n+1/n+1
Et aussi ayant juste récemment appris la définition formelle du max à savoir le plus petit majorant qui appartient à l’ensemble, normalement on l’a utilisé uniquement avec les ensembles et la j’ai l’impression qu’il s’agissait d’une fonction ( qui n’a pas d’expression explicite) et je ne savais comment faire pour l’introduire , mais je suppose qu’on peut faire simplement (expression mathématique) <= max(expression mathématique)
pouvez vous m’éclaircir un peu plus merci

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Re: Inégalités et limite de suites

Message par prepamath » 22 déc. 2020 09:25

$ \max_{0 \leq k \leq p}|u_k - \ell| $ est effectivement le max d'un ensemble. C'est le max de l'ensemble $ \{|u_k - \ell|, 0 \leq k \leq p\} $

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Application d’une fonction sur une limite

Message par Ride-to-infinity » 22 déc. 2020 17:11

Bonjour,
Voila bien un moment que nous sommes sur les limites et fonctions et une question me reste en suspens.
En effet lorsque l’on a une suite ou une fonction tel que f tend vers 5 par exemple alors g•f tend vers g(5) à condition que g soit continue.
Alors je vois bien qu’il y’a un souci sans la continuité mais je n’en suis pas complètement convaincu. Cad que je cherche un exemple ou le défaut de continuité rend la limite fausse mais je ne trouve pas.
Je fais donc appel à vous s’il vous plaît pour un exemple.
Merci d’avance !
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Re: Inégalités et limite de suites

Message par Ride-to-infinity » 22 déc. 2020 17:18

(Desole de m’être « introduit » de cette manière dans cette discussion sans y répondre, je ne voulais pas créer de nouveau salon, et ce sujet est assez proche du mien (du moins le chapitre)) je m’en excuse encore
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Re: Inégalités et limite de suites

Message par autobox » 22 déc. 2020 18:45

f(x) = 5-exp(-x) définie sur R+ et
g la fonction partie entière.

g rond f est la fonction constante égale à 4 donc n'a aucune chance de tendre vers g(5) = 5 en l'infini.
Pourtant f tend vers 5 en l'infini

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Re: Inégalités et limite de suites

Message par Ride-to-infinity » 22 déc. 2020 22:45

Merci beaucoup !!!! 🤩
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