Bonjour.
Soit $ (E, ||.||) $ un espace vectoriel normé, $ F $ un sous-espace vectoriel. On considère la surjection canonique de $ E $ dans $ E/F $ (espace quotient). Apparemment la continuité de cette application est triviale (dans les poly que j'ai lu), mais je ne vois pas vraiment.
J'ai cherché un peu et pour moi, il faut d'abord choisir une norme pour $ E/F $, par exemple celle définie par :
pour $ \overline{x} $ dans $ E/F $, on prend $ ||\overline{x}|| = \underset{f\in F}{\text{inf}} ||x+f|| $ (la deuxième norme est celle dans E).
Alors comme la surjection canonique est linéaire, il suffit de montrer qu'il existe $ K $ tel que pour tout $ x \in E $, $ ||\overline{x}|| \leqslant K||x|| $. C'est vrai puisque $ \text{inf} ||x+f|| \leqslant ||x|| $ ($ 0 $ est dans $ F $).
Mais çà ne me paraît pas si trivial que çà.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer? (je suppose qu'une autre caractérisation de la continuité donne le résultat plus directement...)
Merci d'avance.
Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Bonjour,
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À mon avis tu n'as pas à choisir la norme de ton espace quotient, la norme que tu as définie est la norme induite par celle de $E$ dans ton espace quotient $E/F$ et je pense que quand on parle de continuité d'une application de $E$ dans $E/F$, il est de toute façon important de connaître la norme sur l'espace quotient (qui est en général celle que tu cites) puisque l'espace quotient n'est pas a priori de dimension finie. D'ailleurs, remarque que ce n'est une norme que si $F$ est fermé (pour avoir la séparation), ce qui n'est pas nécessairement le cas si $F$ n'est pas de dimension finie.
Une fois $E/F$ muni de cette norme, ta démonstration m'a l'air parfaitement correcte. Sinon tu peux remarquer par exemple que la surjection canonique est $1$-lipschitzienne mais ce n'est pas tellement plus court que ta preuve.
Avis à prendre avec précaution car je ne suis pas très familier avec ce genre d'objet.
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À mon avis tu n'as pas à choisir la norme de ton espace quotient, la norme que tu as définie est la norme induite par celle de $E$ dans ton espace quotient $E/F$ et je pense que quand on parle de continuité d'une application de $E$ dans $E/F$, il est de toute façon important de connaître la norme sur l'espace quotient (qui est en général celle que tu cites) puisque l'espace quotient n'est pas a priori de dimension finie. D'ailleurs, remarque que ce n'est une norme que si $F$ est fermé (pour avoir la séparation), ce qui n'est pas nécessairement le cas si $F$ n'est pas de dimension finie.
Une fois $E/F$ muni de cette norme, ta démonstration m'a l'air parfaitement correcte. Sinon tu peux remarquer par exemple que la surjection canonique est $1$-lipschitzienne mais ce n'est pas tellement plus court que ta preuve.
Avis à prendre avec précaution car je ne suis pas très familier avec ce genre d'objet.
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Merci pour la réponse.
Mais si $F$ n'est pas de dimension finie, il se trouve que la surjection canonique est toujours continue.
Comment le prouve-t-on?
PS : en fait j'ai exactement montré que l'application est lipschitizienne.
Mais si $F$ n'est pas de dimension finie, il se trouve que la surjection canonique est toujours continue.
Comment le prouve-t-on?
PS : en fait j'ai exactement montré que l'application est lipschitizienne.
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
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A mon avis, si $F$ n'est pas fermé, on peut quand même définir la continuité de la surjection canonique parce que même si on n'a pas une norme sur $E/F$, on a quand même une semi-norme. A partir de là la même preuve fonctionne (Edit : en fait non, cf message de Nabuco ci-dessous), mais tu comprends bien que la difficulté n'est pas tant la démonstration en elle-même que la définition propre d'une norme sur l'espace quotient.
A mon avis, si tu postais un lien du document que tu es en train de lire, ce serait peut-être un peu plus pratique.
En attendant que quelqu'un qui connait ça passe...
A mon avis, si $F$ n'est pas fermé, on peut quand même définir la continuité de la surjection canonique parce que même si on n'a pas une norme sur $E/F$, on a quand même une semi-norme. A partir de là la même preuve fonctionne (Edit : en fait non, cf message de Nabuco ci-dessous), mais tu comprends bien que la difficulté n'est pas tant la démonstration en elle-même que la définition propre d'une norme sur l'espace quotient.
A mon avis, si tu postais un lien du document que tu es en train de lire, ce serait peut-être un peu plus pratique.
En attendant que quelqu'un qui connait ça passe...
Dernière modification par Inversion le 23 déc. 2020 19:24, modifié 1 fois.
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Merci beaucoup. Je crois que j'ai un peu confondu la continuité dans un espace vectoriel normé, et celle dans une topologie (en fait je suis parti d'un exercice sur les evn, mais j'ai fini avec un poly sur les topologies, et comme la définition des ouverts et de la continuité dans ce cas est très différente, il n'y a plus de problème).
(Dans l'exercice initial F était fermé donc tout va bien.)
Si cela t'intéresse, le dernier poly que je regardais était celui-ci : http://www.math.ucsd.edu/~bprhoades/190w16/quotient.pdf
J'en profite pour poser une autre question. Je connais assez peu d'exemple d'utilisation des espaces vectoriels quotients (en fait seulement 4) mais ils permettent à chaque fois de traiter l'exercice bien plus rapidement que la méthode classique. Aurais-tu (toi ou quelqu'un d'autre) des exemples d'utilisation (dans l'optique des concours si possible)?
(Dans l'exercice initial F était fermé donc tout va bien.)
Si cela t'intéresse, le dernier poly que je regardais était celui-ci : http://www.math.ucsd.edu/~bprhoades/190w16/quotient.pdf
J'en profite pour poser une autre question. Je connais assez peu d'exemple d'utilisation des espaces vectoriels quotients (en fait seulement 4) mais ils permettent à chaque fois de traiter l'exercice bien plus rapidement que la méthode classique. Aurais-tu (toi ou quelqu'un d'autre) des exemples d'utilisation (dans l'optique des concours si possible)?
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Dans les faits en concours je ne te conseille vraiment pas de parler d espace quotient parce que c est archi hors programme et rarement utile.
Pour que la norme que tu définis sur le quotient soit une norme il faut que F soit fermé.
Mais la projection est continue par définition de la topologie quotient : c est même la topologie la moins fine qui rend cette projection continue. La preuve dans ton lien est complete en fait : il suffit de vérifier que l image réciproque d un ouvert est ouvert ce qui est fait.
Par contre ta preuve n est à priori pas juste : il faudrait vérifier que la topologie engendrée par la norme coïncide avec la topologie quotient. C est vrai mais ça doit se prouver.
Pour que la norme que tu définis sur le quotient soit une norme il faut que F soit fermé.
Mais la projection est continue par définition de la topologie quotient : c est même la topologie la moins fine qui rend cette projection continue. La preuve dans ton lien est complete en fait : il suffit de vérifier que l image réciproque d un ouvert est ouvert ce qui est fait.
Par contre ta preuve n est à priori pas juste : il faudrait vérifier que la topologie engendrée par la norme coïncide avec la topologie quotient. C est vrai mais ça doit se prouver.
Re: Continuité de la surjection canonique de E dans E/F
Merci beaucoup pour ton aide Nabuco.