Encadrement d’une somme

[Yosh2]

Bonjour
Pour montrer que la sommes des factoriels est équivalente à factoriel de n
Je procède à un encadrement pour ensuite utiliser le théorème des gendarmes, mais en encadrement toutes la somme ça n’aboutit à rien , de même en séparant un terme , mais au bout du deuxième terme séparé, l’encadrement devient suffisamment fin pour conclure.
Cependant je n’arrive toujours pas à comprendre pourquoi en séparant des termes( écrire exactement la même somme différemment) j’obtiens un encadrement différent et plus pertinent,
Pouvez vous m’éclairer ce point ?
Merci

[JeanN]

Au lieu de sommer des inégalités pour k entre 0 et n, tu sommes des inégalités pour k entre 0 et n-2.
Tu n'obtiens donc pas les mêmes sommes (il manque deux termes à chaque fois) donc pas les mêmes inégalités.
Ensuite, tu rajoutes de part et d'autre les deux termes qui manquent et tu as donc des inégalités un peu plus optimales que l'encadrement bourrin que tu as testé initialement.

[Yosh2]

Serais ce comparable à l’utilisation de la forme canonique pour encadrer les polynômes du second degré , avec une seule variable “l’incertitude” est mieux maîtrisée qu’avec plusieurs variable ou les incertitudes s’accumulent potentiellement ?
Dois je également comprendre que plus je sépare de termes mieux mon encadrement seras ? Ou bien à partir d’un certain terme l’effet s’estompe?

[JeanN]

Si tu dois majorer a+b+c, en sachant que a, b et c sont plus petits que 1, tu obtiendras une meilleure majoration en écrivant $ a+b+c\leq 1+b+c $ qu'en écrivant $ a+b+c\leq 3 $.
Parfois, la majoration moins forte (la deuxième permet de conclure), parfois il faut utiliser la première majoration.
Il n'y a pas de règle à suivre (sinon Cédric Villani n'aurait pas obtenu de médaille Fields) : simplement écrire des inégalités (correctes) et constater avec lucidité et honnêteté intellectuelle qu'elles permettent ou non de conclure.