Analyse: on remarque que $ f $ a une limite finie $ lim_{+\infty} f=l_0 $. Si on répète l'opération à $ (f-l_0)exp $, on a aussi une limite finie $ l_1 $, etc.Soit $ f\in C^0(\mathbb R_+,\mathbb R) $. Trouver une condition nécessaire sur $ f $ pour qu'elle soit limite uniforme d'une suite de fonctions de la forme $ x\mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_k e^{-kx}, (\lambda_0,\dots,\lambda_n)\in \mathbb R^{n+1} $
On a alors le développement asymptotique pour tout $ n\in \mathbb N, f(x) =_{x\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n l_k e^{-kx} +o(e^{-nx}) $
Synthèse : On pose alors $ f_n(x) =\sum_{k=0}^n l_k e^{-kx} $
Cependant, je n'ai même pas la convergence simple au voisinage de 0. Au voisinage de l'infini, la par contre, j'ai convergence, mais pas uniforme.
Comment maîtriser ce qui se passe du côté de 0 ?
Merci d'avance !