Séries entières-equations différentielles

[amandine89]

Bonjour, je bloque pour cette exercice.
Est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait?
Soit (E) l'équation différentielle y" + ty' + y = 0
On cherche d'éventuelles solutions sommes de série entière sur R.
On suppose l'existence d'une série entière (somme (an*x^n) de rayon de convergence R > 0 dont la somme soit sur
] - R;R[ solution de (E).

1.Montrer que la suite (an) vérifie alors nécessairement une relation de récurrence à préciser.
2. En déduire que (E) admet sur R une solution f1 vérifiant f1(0) = 1 et f(0)'=1 et somme sur R d'une série entière à préciser. Expliciter f1 à l'aide des fonctions usuelles.

[JeanN]

Tu bloques à quelle question ?

[lamdba]

Pour la première question étant donné que t’as supposé l’existence d’une série entière dont la somme est solution, tu dérives deux fois la somme S de cette série puis tu injectes dans (E) pour tout x dans le disque ouvert de convergence. Puis tu fais une changement d’indice qui va bien pour regrouper tous les termes (an, an+1 et an+2) sous une même somme.
Ainsi par unicité du développement en série entière tu procèdes par identification des coefficients avec le développement en série entière de la fonction nulle et t’auras ta relation de récurrence.

[amandine89]

j'ai trouvé (n+2)(n+1)An+2 +(n+1) An =0
donc j'isole An pour la 1ère question.
Ensuite pour la deuxième je trouve que pour les n inpaires : an=0
et pour les n paires j'ai trouve (-1/2) *(-1/4)*... *(-1/2n-2)*(-1/2n). Sauf que je ne sais pas mettre sous la forme d'un fonction explicite.
Merci par avance!

[Nicolas Patrois]

Et avec des factorielles et des puissances de 2 ?

[amandine89]

f (t) = Somme (-1)^n / (2n)! pour tout n>=0 ?

[Nicolas Patrois]

Non, je ne vois pas de termes impairs dans ton dénominateur.
Et ça voudrait dire par ailleurs que ta fonction de t est constante.