Équivalent par sommabilité

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Équivalent par sommabilité

Message par Mourien » 21 janv. 2021 18:34

Bonsoir, je cherche l'exercice suivant:
Soit $ (u_n) $ une suite réelle telle que $ u_n \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k^2 \longrightarrow 1 $. Déterminer un équivalent de $ u_n $.
Si on cherche l'équivalent sous la forme $ n^{\alpha} $, on trouve en sommant les équivalents $ u_n \sim ^3\sqrt{\dfrac 1{3n}} $.
Sinon on peut montrer que $ u_n \rightarrow 0, \sum_{k=0}^n u_k^2\rightarrow +\infty $.

Je précise qu'il s'agit d'un exo de colle sur le thème familles sommables, j'ai donc cherché à calculer des sommes doubles à simplifier mais je n'ai pas abouti.

Merci d'avance pour votre aide !

Edit : constante de l'équivalent corrigée.
Modifié en dernier par Mourien le 28 janv. 2021 17:38, modifié 1 fois.
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par autobox » 21 janv. 2021 20:15

Rien compris à ta question.
Tu ne risques pas de montrer que $ \sum u_k^2 $ tend vers l'infini si par hypothèse ça tend vers 1. Par ailleurs on ne somme pas les equivalents, même positifs. Ici rien n'indique que u soit une suite positive de toute façon (mais elle est à valeurs dans [-1,1] puisque u^2 est, elle, à valeurs dans [0,1]).

Enfin, ton équivalent est grossièrement faux. Prends $ u_k = \dfrac{\sqrt{6}}{\pi k} $, cette suite vérifie ton hypothèse, mais n'est pas équivalente à $ (3/k)^{1/3} $, sinon $ k^{-2/3} \dfrac{\sqrt{6}}{3^{1/3}\pi} $ tendrait vers 1 :mrgreen:

Peux-tu corriger ton énoncé, et ta question ?

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Re: Équivalent par sommabilité

Message par Mourien » 21 janv. 2021 21:19

Merci beaucoup pour ton aide mais tu as mal lu l'énoncé : c'est le produit $ u_n \times S_n $ qui tend vers 1.
Modifié en dernier par Mourien le 21 janv. 2021 21:23, modifié 1 fois.
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par Mourien » 21 janv. 2021 21:22

Sinon il me semble que l'on peut sommer les équivalents: si $ v_n\sim w_n $ on a alors $ v_n=w_n+o(w_n) $ et on somme cette relation.

Edit : avec positivité (ou constance de signe) d'une des deux suites.
Modifié en dernier par Mourien le 21 janv. 2021 21:53, modifié 1 fois.
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par JeanN » 21 janv. 2021 21:40

Mourien a écrit :
21 janv. 2021 18:34
Bonsoir, je cherche l'exercice suivant:
Soit $ (u_n) $ une suite réelle telle que $ u_n \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k^2 \longrightarrow 1 $. Déterminer un équivalent de $ u_n $.
Si on cherche l'équivalent sous la forme $ n^{\alpha} $, on trouve en sommant les équivalents $ u_n \sim ^3\sqrt{\dfrac 3n} $.
Sinon on peut montrer que $ u_n \rightarrow 0, \sum_{k=0}^n u_k^2\rightarrow +\infty $.

Je précise qu'il s'agit d'un exo de colle sur le thème familles sommables, j'ai donc cherché à calculer des sommes doubles à simplifier mais je n'ai pas abouti.

Merci d'avance pour votre aide !
Le programme de colle étant en réalité "familles sommables et révisions sur les séries numériques", je ne pense pas qu'il soit utile de chercher à tout prix une preuve par les sommes doubles :)
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par versionpatch » 27 janv. 2021 13:55

Une sommation par parties du carré de la quantité donnée permet d'aboutir au résultat.
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par Yannbzh » 28 janv. 2021 00:04

De manière peut-être plus simple, poser $S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{n}^{2}$ et regarder $S_{n}^{3}-S_{n-1}^{3}$

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Re: Équivalent par sommabilité

Message par Mourien » 28 janv. 2021 17:37

Je trouve $ S_n^3-S_{n-1}^3=u_n^6+3u_n^4 S_{n-1}+3u_n^2S_{n-1}^2\sim u_n^6+3u_n^3+3=3+o(1) $

En sommant les équivalents $ S_n^3\sim 3n $ donc $ u_n\sim (3n)^{-\frac 13} $

Je connaissais la technique de chercher $ \gamma $ tel que $ u_{n+1}^{\gamma}-u_n^{\gamma}\rightarrow l \neq 0 $ et de sommer les équivalents, ici c'était donc avec $ S_n $ qu'il fallait travailler !

Merci !
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Re: Équivalent par sommabilité

Message par Yannbzh » 28 janv. 2021 20:46

Yep! Après tu feras gaffe à tes justifications, tu peux sommer les équivalents ici car ce sont les termes de séries divergentes et positifs. Si on avait trouvé comme équivalent $\frac{1}{n^{2}}$ alors on aurait pas l'équivalence des sommes partielles

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