Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

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Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par joM5jo » 15 févr. 2021 02:41

Bonjour/Bonsoir, en relisant mon cours sur la convexité je vois que toute fonction définie sur I convexe est dérivable à gauche et à droite en tout point appartenant à l'intérieur de I.
On en déduit donc que toute fonction définie sur I convexe est dérivable sur l'intérieur de I (n'est-ce pas ??? :? ). Puis en avançant je retrouve un titre 'Caractérisation des fonctions convexes dérivables' qui parle en outre de la convexité de f si est seulement si sa dérivée est croissante, et qui prend en hypothèses le fait que f est convexe ET dérivable sur l'intérieur de I.
Ma question : n'est-il pas suffisant de supposer que f est juste convexe ???

D'autre part, voici un exercice sur lequel je bloque, j'ai pensé à utilisé l'inégalité des pentes mais je ne vois pas comment :

Soit $ f $ une fonction réelle définie sur $ ]0,+\infty[ $. Montrer que la fonction
$ x\to xf(x) $ est convexe si et seulement si $ x\to f(\frac{1}{x}) $ l'est.

Merci de votre aide et éclaircissements !
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par E3A 4ever » 15 févr. 2021 08:00

Admettre une dérivée à droite et à gauche en tout point entraîne la continuité sur l'intérieur. En revanche pour être dérivable il faut que la dérivée à gauche soit égale à la dérivée à droite.

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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par Mourien » 15 févr. 2021 12:24

$ x\mapsto f\big(\dfrac 1x\big) $ convexe ssi pour tous $ \lambda,\mu $ positifs et de somme $ 1 $, pour tous $ x,y $ strictement positifs, $ f\big(\frac1{\lambda x+\mu y}\big)\le \lambda f(\frac 1x)+\mu f(\frac 1y) $

De même $ x\mapsto xf(x) $ convexe ssi pour tous $ \alpha, \beta $ positifs de somme $ 1 $, pour tous $ u,v $ strictement positifs, $ (\alpha u +\beta v)f(\alpha u +\beta v)\le \alpha u f(u) + \beta v f(v) $

Fais apparaître ensuite une similitude entre ces inégalités et fais le changement de variable qui montre l'équivalence.
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par joM5jo » 15 févr. 2021 15:49

E3A 4ever a écrit :
15 févr. 2021 08:00
Admettre une dérivée à droite et à gauche en tout point entraîne la continuité sur l'intérieur. En revanche pour être dérivable il faut que la dérivée à gauche soit égale à la dérivée à droite.
Je vois merci beaucoup c'est clair
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par joM5jo » 15 févr. 2021 15:52

Mourien a écrit :
15 févr. 2021 12:24
$ x\mapsto f\big(\dfrac 1x\big) $ convexe ssi pour tous $ \lambda,\mu $ positifs et de somme $ 1 $, pour tous $ x,y $ strictement positifs, $ f\big(\frac1{\lambda x+\mu y}\big)\le \lambda f(\frac 1x)+\mu f(\frac 1y) $

De même $ x\mapsto xf(x) $ convexe ssi pour tous $ \alpha, \beta $ positifs de somme $ 1 $, pour tous $ u,v $ strictement positifs, $ (\alpha u +\beta v)f(\alpha u +\beta v)\le \alpha u f(u) + \beta v f(v) $

Fais apparaître ensuite une similitude entre ces inégalités et fais le changement de variable qui montre l'équivalence.
Bonjour merci pour votre réponse.
Bon je pense que je tiens le changement de variable mais je ne sais pas exactement ce qui doit être transformé : $ x=\frac{1}{u} $ et $ y=\frac{1}{v} $ puis $ \lambda=\frac{\alpha u}{\alpha u +\beta v} $ et $ \mu=\frac{\beta v}{\alpha u +\beta v} $ ????
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par JeanN » 15 févr. 2021 18:48

Ben si tu as une preuve qui fonctionne, c'est que ton changement de variable fonctionne...
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par joM5jo » 15 févr. 2021 20:40

JeanN a écrit :
15 févr. 2021 18:48
Ben si tu as une preuve qui fonctionne, c'est que ton changement de variable fonctionne...
Mais n'est-il pas faux de faire un changement de variable de $ \lambda $ et $ \mu $ dépendant de $ u $ et $ v $ ?
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Re: Ambiguïté dans mon cours sur la convexité + exo de convexité

Message par JeanN » 15 févr. 2021 21:16

Pourquoi ça serait faux ?
Essaye plutôt de rédiger ta preuve puis de la relire avec honnêteté pour détecter d'éventuels problèmes.
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