Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On pose $ f(x)=\exp(-1/x^2) $ prolongée en 0 par $ f(0)=0 $.
Montrer qu'il existe $ \eta>0 $ tel que pour tout n :
$ \sup_{|x|\le \eta}|f^{(n)}(x)|\ge (n!)^{3/2} $.
Je sais que les dérivées successives sont de la forme $ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2) $ où les polynômes $ P_n $ vérifient la relation de récurrence :
$ P_{n+1}=X^3 P'_n+(2-3nX^2)P_n $
mais je ne vois pas comment m'en servir, ni même si ça peut être utile.
Si quelqu'un a une piste... Merci
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On pose $ f(x)=\exp(-1/x^2) $ prolongée en 0 par $ f(0)=0 $.
Montrer qu'il existe $ \eta>0 $ tel que pour tout n :
$ \sup_{|x|\le \eta}|f^{(n)}(x)|\ge (n!)^{3/2} $.
Je sais que les dérivées successives sont de la forme $ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2) $ où les polynômes $ P_n $ vérifient la relation de récurrence :
$ P_{n+1}=X^3 P'_n+(2-3nX^2)P_n $
mais je ne vois pas comment m'en servir, ni même si ça peut être utile.
Si quelqu'un a une piste... Merci
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On pose $ f(x)=\exp(-1/x^2) $ prolongée en 0 par $ f(0)=0 $.
Montrer qu'il existe $ \eta>0 $ tel que pour tout n :
$ \sup_{|x|\le \eta}|f^{(n)}(x)|\ge (n!)^{3/2} $.
Je sais que les dérivées successives sont de la forme $ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2) $ où les polynômes $ P_n $ vérifient la relation de récurrence :
$ P_{n+1}=X^3 P'_n+(2-3nX^2)P_n $
mais je ne vois pas comment m'en servir, ni même si ça peut être utile.
Si quelqu'un a une piste... Merci
Il vient d'où ton exo ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
En tout cas, c'est faux pour n = 0 et n=1...
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Ca a l'air vrai tout de même pour n assez grand, de se passer autour de $$f^{(n)}(cste/\sqrt n)$$ ou un truc du genre mais je n'ai rien de beaucoup plus convainquant à proposer
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Bonsoir,
Ce problème semble sacrément dur. Voici une approche qui m'a permis d'obtenir une estimation insuffisante pour toi, mais que je trouve tout de même chouette, et qui légitime le fait de regarder ce qui se passe lorsque $ x $ est de l'ordre de $ n^{-1/2} $
1. Puisque $ f^{(n)}(x) $ s'écrit sous la forme $ P_n(x)/x^{3n} \exp(-1/x^2) $, on constate que $ f^{(n)}(x) \to 0 $ lorsque $ x \to 0 $, et ce quel que soit l'entier $ n $ considéré.
2. À $ n $ fixé, soit $ c_{n,x} $ le supremum des réels $ f^{(n)}(t) $ tels que $ 0 \leqslant t \leqslant x $. On constate immédiatement que $ f^{(n-k)}(t) \leqslant c_{n,x} t^{n-k} / k! $ pour tout $ k \leqslant n $ et tout $ t \leqslant x $. On en conclut que $ c_{n,x} \geqslant n! f(x) / x^n $.
3. Si l'on pose $ g(x) = f(x) / x^n $, on constate que $ g'(x) = (2 - n x^2) f(x) / x^{n+3} $, de sorte que $ g $ est maximale en $ x = \sqrt{2/n} $. On en déduit que $$ c_{n,\sqrt{2}} \geqslant c_{n,x} \geqslant n! g\left(\sqrt{2/n}\right) = n! f\left(\sqrt{2/n}\right) (n/2)^{n/2} = (2e)^{-n/2} n! n^{n/2} \sim \frac{n!^{3/2}}{(2 \pi n)^{1/4} 2^{n/2}} $$
Ce problème semble sacrément dur. Voici une approche qui m'a permis d'obtenir une estimation insuffisante pour toi, mais que je trouve tout de même chouette, et qui légitime le fait de regarder ce qui se passe lorsque $ x $ est de l'ordre de $ n^{-1/2} $
1. Puisque $ f^{(n)}(x) $ s'écrit sous la forme $ P_n(x)/x^{3n} \exp(-1/x^2) $, on constate que $ f^{(n)}(x) \to 0 $ lorsque $ x \to 0 $, et ce quel que soit l'entier $ n $ considéré.
2. À $ n $ fixé, soit $ c_{n,x} $ le supremum des réels $ f^{(n)}(t) $ tels que $ 0 \leqslant t \leqslant x $. On constate immédiatement que $ f^{(n-k)}(t) \leqslant c_{n,x} t^{n-k} / k! $ pour tout $ k \leqslant n $ et tout $ t \leqslant x $. On en conclut que $ c_{n,x} \geqslant n! f(x) / x^n $.
3. Si l'on pose $ g(x) = f(x) / x^n $, on constate que $ g'(x) = (2 - n x^2) f(x) / x^{n+3} $, de sorte que $ g $ est maximale en $ x = \sqrt{2/n} $. On en déduit que $$ c_{n,\sqrt{2}} \geqslant c_{n,x} \geqslant n! g\left(\sqrt{2/n}\right) = n! f\left(\sqrt{2/n}\right) (n/2)^{n/2} = (2e)^{-n/2} n! n^{n/2} \sim \frac{n!^{3/2}}{(2 \pi n)^{1/4} 2^{n/2}} $$
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Merci de me rassurer
J'avais trouvé cette minoration et J'ai aussi cherché un peu du côté de la première racine positive de P_n qui semble être en cste/sqrt(n) également...
J'ai quelques conjectures numériques à l'aide de Maple mais je suppose que ça n'intéresse pas grand monde
J'avais trouvé cette minoration et J'ai aussi cherché un peu du côté de la première racine positive de P_n qui semble être en cste/sqrt(n) également...
J'ai quelques conjectures numériques à l'aide de Maple mais je suppose que ça n'intéresse pas grand monde
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Bonjour,
Savez-vous pourquoi le Latex entre dollars ne compile pas chez moi ? C'est gênant pour la lecture. (En revanche, les équations en mode centré compilent bien.)
Savez-vous pourquoi le Latex entre dollars ne compile pas chez moi ? C'est gênant pour la lecture. (En revanche, les équations en mode centré compilent bien.)
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
J'avoue que j'ai pas relu en détail mais en fait un simple Taylor Lagrange à l'ordre n-1 donne la minoration trouvée par v@j (après maximisation de la fonction qui va bien).
Sinon, je sais pas trop pour les simples dollars...
Sinon, je sais pas trop pour les simples dollars...
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Dérivées successives de exp(-1/x^2)
Edit : Ce qui suit ne marche pas.
En réappliquant la formule de V@J, ç'a l'air de marcher.
On a pour tous $ 0\leqslant k\leqslant n $ et $t\in [0,\sqrt{\frac2k}]$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{t^{n-k}} f^{(k)}(t) \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} f^{(k)}(t) $$ donc en passant au sup sur $t$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} c_{k,\sqrt{2/k}} \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} \times (2e)^{-k/2} k! k^{k/2}$$ en reprenant ce qu'a fait V@J.
Maintenant, prenons $k= an$ (ou l'entier le plus proche, mais négligeons ce détail) avec $a\in{]0,1[}$. Notons $b= 1-a$. Alors, si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, $$c_{n,2} \geqslant \frac{(bn)!}{(\frac2{an})^{bn/2}} \times (2e)^{-an/2} (an)! (an)^{an/2} \sim \frac{n^{3n/2}}{2\pi n\sqrt{ab} } \left(\frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}}\right)^n$$
Or $\displaystyle n!^{3/2}\sim \frac1{(2\pi n)^{3/4}} \left(\frac{n}e\right)^{3n/2}$. Donc $\displaystyle \frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}} > e^{-3/2}$ suffirait pour avoir $n!^{3/2} = o(c_{n,2})$ quand $n\to \infty$. Malheureusement, cette inégalité n'est jamais vraie...
En réappliquant la formule de V@J, ç'a l'air de marcher.
On a pour tous $ 0\leqslant k\leqslant n $ et $t\in [0,\sqrt{\frac2k}]$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{t^{n-k}} f^{(k)}(t) \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} f^{(k)}(t) $$ donc en passant au sup sur $t$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} c_{k,\sqrt{2/k}} \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} \times (2e)^{-k/2} k! k^{k/2}$$ en reprenant ce qu'a fait V@J.
Maintenant, prenons $k= an$ (ou l'entier le plus proche, mais négligeons ce détail) avec $a\in{]0,1[}$. Notons $b= 1-a$. Alors, si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, $$c_{n,2} \geqslant \frac{(bn)!}{(\frac2{an})^{bn/2}} \times (2e)^{-an/2} (an)! (an)^{an/2} \sim \frac{n^{3n/2}}{2\pi n\sqrt{ab} } \left(\frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}}\right)^n$$
Or $\displaystyle n!^{3/2}\sim \frac1{(2\pi n)^{3/4}} \left(\frac{n}e\right)^{3n/2}$. Donc $\displaystyle \frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}} > e^{-3/2}$ suffirait pour avoir $n!^{3/2} = o(c_{n,2})$ quand $n\to \infty$. Malheureusement, cette inégalité n'est jamais vraie...
Dernière modification par Calli le 24 févr. 2021 23:00, modifié 6 fois.