Polynôme

Un problème, une question, un nouveau théorème ?
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Polynôme

Message par Yosh2 » 18 févr. 2021 21:53

Bonjour
Pouvez vous m’aider pour l’exo suivant
https://www.swisstransfer.com/d/f66da7d ... 980ecc26ca
a/ je remplace x=a-1 et j’obtiens P(a)Q(a-1)=aP(a-1) puis aP(a-1)=0 , mais je ne sais rien sur a donc je ne peux pas conclure , j’ai également remplacé x=a et la j’obtiens P(a+1)Q(a)=0 la encore je ne connais pas Q(a)
b/ d’après a et par itération les racines sont de la formes a+k avec k€Z
c/ on factorise successivement par toutes les racines qui sont les entiers naturels avec leurs multiplicites , mais je ne vois comment faire apparaître le lambda
d/ je n’ai pas bien réussi les questions précédentes et j’imagine que c’est basé sur eux , peut être en dérive on montre que toutes les racines sont simples.
Merci à vous

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Re: Polynôme

Message par JeanN » 18 févr. 2021 22:47

a) La première question est fausse. Il s'agit de montrer que si a est une racine non nulle de P, alors a-1 est aussi racine de P.
b) Ensuite, suppose qu'il existe une racine de P qui ne soit pas un entier naturel. Alors pour tout k entier naturel, a-k est racine de P (récurrence + a non entier naturel)...
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Re: Polynôme

Message par Yosh2 » 19 févr. 2021 12:22

bonjour
a/ le fait que l'indice produit dans la question d commence a 0 ne laisserait il pas croire que 0 est aussi une racine?
b/ on suppose que il existe c non entiers tq P(c) = 0 donc P(c-k) = 0 pour k entier , de plus si c est non entiers c-k l'est aussi donc c-k est toujours different de 0 , et on aura une infinite de racines c-k , donc P = 0 (contracdiction avec P non constant)
c/ en utilisant b , les X-i divisent P avec i les racines de P, et pour i different de jon a X-i est premier avec X-j donc leur produit divise P ,donc il existe Q tq Q*produit(X-i) = P , de plus Q doit etre de degre 0 , cad Q = lambda
d/ en derivant l'expression precedente$ \ P'(X) =\lambda \sum m_j\prod (X-i)^{m_i} $ avec j de 0 à n et i de 0 à n avec i different de j
si P(a) = 0 alors P'(a) different de 0 ( car il y aura toujours des termes non nuls dans la somme , je n'arrive pas a mieux justifier) et donc toutes les racines sont simples

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Message par JeanN » 19 févr. 2021 14:16

Essaye de montrer que -1 est racine en supposant que 0 est racine. Tu auras du mal.
L'énoncé de la question a) est faux.
Le bon énoncé est celui-ci : montrer que si a est une racine non nulle de P, alors a-1 est racine de P.
Du coup, pour cette question, on se fiche de savoir si 0 est racine ou non du polynôme.

b) Vu que tu t'appuies sur un résultat faux, ta preuve ne tient pas vraiment la route.
c) Il te faut invoquer le théorème de d'Alembert Gauss si tu veux justifier proprement cette question.
D'ailleurs, l'énoncé n'est pas très rigoureux. Il faudrait lire "montrer qu'il existe lambda dans K* tel que P=..."
d) Utilise plutôt la propriété de divisibilité de l'énoncé et un peu d'arithmétique élémentaire. C'est assez joli d'ailleurs !
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Message par Yosh2 » 19 févr. 2021 17:53

bonjour
a/ j'ai compris votre propos , la propriete n'est valable que pour a non nul , combien meme 0 serait une racine .
b/ je n'ai pas tout a fait saisi votre remarque , de quel resultat faux vous parlez , j'ai utilise la question a/ sur a-k qui est toujours differente de zero pour a non entiers et k entiers , et ensuite j'utilise le fait que P est non constant d'apres l'enonce
c/ en utilisant le theoreme d'alembert gauss , soit a un racine de P alors P = (X-a)^m *Q
puis on fait de meme pour Q dont les racines sont celles restantes de P , mais cette fois ci en n'utilisant pas la divisibilite je ne vois pas comment faire apparaitre le lambda , (pour justfier que lambda est different de zero , par l'absurde si lambda = 0 , alors P = 0 , or P est non constant)
merci a vous

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Message par JeanN » 19 févr. 2021 18:53

c) Ce n'est pas le théorème de d'Alembert Gauss qui te permet de dire que si a est racine de P de multiplicité m, alors (X-a)^m divise P.
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Message par Yosh2 » 19 févr. 2021 21:20

bonsoir
le theoreme d'alembert gauss me permet de dire que P ( puisque non constant ) admet au moins une racine a dans C donc est divisible par X-a , j'ai certainement toujours pas saisi ce theoreme en profondeur mais d'apres la formulation du theoreme que j'ai lue il me semble que les racines sont comptes avec leur multiplicite d'ou (X-a)^m divise P, est ce correct?
merci

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Message par JeanN » 19 févr. 2021 21:57

As-tu entendu parler d'une conséquence du théorème de d'Alembert-Gauss qui dit que tout polynôme complexe non constant est scindé ?
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Message par Yosh2 » 20 févr. 2021 12:10

bonjour
oui j'en ai entendu parle , tout polynome non constant est scinde dans C puisque toutes ces racines sont dans C , mais j'avoue ne toujours pas comprendre comment exploiter ceci pour repondre a la question?
merci

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Message par JeanN » 20 févr. 2021 14:30

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