Nature d'une série alternée
Nature d'une série alternée
Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge
Merci à vous !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge
Merci à vous !
2020/2021 : MPSI Mohamed V
Re: Nature d'une série alternée
Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :
sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0
Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier
sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0
Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier
Re: Nature d'une série alternée
Merci pour votre réponse, j'aimerai juste préciser qu'il fait résoudre la question avec un niveau SUPautobox a écrit : ↑21 févr. 2021 00:09Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :
sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0
Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier
Transformée de Fourier tout ça je ne sais pas ce que c'est
2020/2021 : MPSI Mohamed V
Re: Nature d'une série alternée
Que sais-tu du terme d'un série convergente ?
Donc à propos de son module ?
Conclusion ?
SPOILER:
SPOILER:
Re: Nature d'une série alternée
Ok désolé, alors niveau sup, note $ (S_n) $ la suite des sommes partielles.
Suppose que $ (S_n) $ converge vers une limite $ L $, finie. Alors $ S_{n}-S_{n-1} \xrightarrow[n\to +\infty]{} L-L = 0 $.
Mais $ S_n-S_{n-1} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(1/n)} $ ne converge même pas, puisque sa valeur absolue tend vers l'infini...
Suppose que $ (S_n) $ converge vers une limite $ L $, finie. Alors $ S_{n}-S_{n-1} \xrightarrow[n\to +\infty]{} L-L = 0 $.
Mais $ S_n-S_{n-1} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(1/n)} $ ne converge même pas, puisque sa valeur absolue tend vers l'infini...
Re: Nature d'une série alternée
Vu que ton terme général ne tend pas vers 0, il n'y a pas besoin de faire de choses trop compliquées pour conclure.joM5jo a écrit : ↑20 févr. 2021 23:56Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge
Merci à vous !
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Nature d'une série alternée
Alors là il fallait voir juste près de son nez Merci tout le monde j'ai bien compris !
2020/2021 : MPSI Mohamed V