Nature d'une série alternée

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Nature d'une série alternée

Message par joM5jo » 20 févr. 2021 23:56

Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge :| :|
Merci à vous !
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Re: Nature d'une série alternée

Message par autobox » 21 févr. 2021 00:09

Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :

sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0

Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier

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Re: Nature d'une série alternée

Message par joM5jo » 21 févr. 2021 01:06

autobox a écrit :
21 févr. 2021 00:09
Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n :

sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n)
où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0

Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord.
Mais à vue de nez je dirais que ça doit être possible de l'écrire comme une transformée de Fourier
Merci pour votre réponse, j'aimerai juste préciser qu'il fait résoudre la question avec un niveau SUP :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
Transformée de Fourier tout ça je ne sais pas ce que c'est :( :( :(
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Re: Nature d'une série alternée

Message par prepamath » 21 févr. 2021 09:34

Que sais-tu du terme d'un série convergente ?
SPOILER:
il tend vers zéro
Donc à propos de son module ?
SPOILER:
Il tend vers zéro
Conclusion ?

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Re: Nature d'une série alternée

Message par autobox » 21 févr. 2021 12:25

Ok désolé, alors niveau sup, note $ (S_n) $ la suite des sommes partielles.
Suppose que $ (S_n) $ converge vers une limite $ L $, finie. Alors $ S_{n}-S_{n-1} \xrightarrow[n\to +\infty]{} L-L = 0 $.
Mais $ S_n-S_{n-1} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(1/n)} $ ne converge même pas, puisque sa valeur absolue tend vers l'infini...

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Re: Nature d'une série alternée

Message par JeanN » 21 févr. 2021 12:51

joM5jo a écrit :
20 févr. 2021 23:56
Bonjour bonsoir !
Je cherche à déterminer la nature de la série suivante : $ \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(\frac{1}{n})} $
J'ai beaucoup de mal à en découdre j'ai essayé le critère spécial de convergence des séries alternées mais en vain puisque la suite de la valeur absolue du terme général n'est pas décroissante et ne tend pas vers $ 0 $ (ça tend même vers $ +\infty $).
Et la convergence absolue est inutile aussi puisque le terme générale en valeur absolu est équivalent à $ \sqrt{n} $.
Tout cela laisse à penser que la série diverge :| :|
Merci à vous !
Vu que ton terme général ne tend pas vers 0, il n'y a pas besoin de faire de choses trop compliquées pour conclure.
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Re: Nature d'une série alternée

Message par joM5jo » 21 févr. 2021 15:05

Alors là :mrgreen: il fallait voir juste près de son nez :lol: Merci tout le monde j'ai bien compris !
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