Convergence uniforme et limite

[Alfonse45]

Bonjour, je suis actuellement en train de réviser la convergence uniforme et je bloque sur l'utilisation du théorème d'interversion des limites.

Le théorème stipule que si pour une suite de fonction fn tel que fn tend vers ln lorsque x tend vers a, il y a convergence uniforme dans un voisinage de a alors on peut intervertir les limites.

Voici l'exercice qui me bloque : "Calculer ln(2) à l'aide d'une série entière"

Dans le corrigé, il utilise la série entière ln(1+x) définie sur ]-1,1[, il montre la convergence uniforme sur [0,1[ et utilise le théorème d'interversion mais je ne comprends pas pourquoi sachant que [0,1[ n'est pas un voisinage de 1 ?

Si quelqu'un pouvait m'aider

[Tamador195]

Le théorème d’interversion des limites est valable pour un point a adhérent au domaine de définition envisagé.
Ici, comme ton domaine est ]-1,1[, 1 y est bien adhérent, et relativement à ce domaine, [0,1[ en est bien un voisinage.

Cf une proposition perdue dans ton cours de topo : les voisinages d’un point a relativement à un sous-domaine B d’un domaine A sont de la forme B inter V où V est un voisinage de a relativement à A.

J’espère avoir été clair.

[JeanN]

Bonjour, je suis actuellement en train de réviser la convergence uniforme et je bloque sur l'utilisation du théorème d'interversion des limites.

Le théorème stipule que si pour une suite de fonction fn tel que fn tend vers ln lorsque x tend vers a, il y a convergence uniforme dans un voisinage de a alors on peut intervertir les limites.

Voici l'exercice qui me bloque : "Calculer ln(2) à l'aide d'une série entière"

Dans le corrigé, il utilise la série entière ln(1+x) définie sur ]-1,1[, il montre la convergence uniforme sur [0,1[ et utilise le théorème d'interversion mais je ne comprends pas pourquoi sachant que [0,1[ n'est pas un voisinage de 1 ?

Si quelqu'un pouvait m'aider

Ici, tu pourras obtenir par double limite la limite en 1 par valeurs inférieures, ce qui te suffit pour calculer ln(2) à l'aide de la série entière qui va bien.

[Alfonse45]

Ok merci