Homeomorphisme entre suites réelles denses

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Homeomorphisme entre suites réelles denses

Message par Mourien » 08 mars 2021 15:16

Bonjour, je cherche l'exercice suivant :
Soit $(a_n),(b_n)$ deux suites réelles denses et injectives. Trouver un homéomorphisme de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ qui envoie $A=\{a_n\}$ sur $B=\{b_n\}$.
Après pas mal de recherches, mon meilleur candidat est l'application définie par récurrence :

$ f: a_0\mapsto b_0 $ et pour $n>0$, $f:a_n\mapsto b_m$ où $m=min\{k\in \mathbb N: |b_k-f(a_i)|\le d\} $ où $d=d(a_n,(a_0,\dots,a_{n-1})=d(a_n,a_i)$ pour un certain $i$, et où le minimum est pris sur les entiers $k$ tels que $ b_k $ n'a pas encore été atteint.

Ainsi $ f $ est injective, elle est $1$ lipschitzienne, donc continue sur $A$.

Pour $x\in \mathbb R$, $x$ est adhérent à $A$ et $\underset {a\rightarrow x, a \in A} {lim} f(a)$ existe. En effet, par caractérisation séquentielle, on prend $a_{\phi(n)}\rightarrow x$, alors en particulier cette suite est de Cauchy, et donc on a clairement que $(f(a_{\phi(n)}))$ est aussi de Cauchy donc converge. Si on prend une autre suite à valeurs dans $A$ qui converge vers $x$, il suffit de les entrelacer pour avoir qu'elles ont même limite.

On peut ensuite prolonger $f$ en une application continue de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.

Il me manque juste la surjectivité, je pense que ma condition de distance était trop demandante, mais sinon je ne vois pas trop comment montrer la continuité de $f$, mais surtout que $f$ admet une limite en tout réel, ce qui est la condition sine qua non pour qu'elle admette un prolongement continu sur $\mathbb R$ si je ne m'abuse.

Enfin, si jamais $f$ était bijective, on pourrait montrer que $f^{-1}$ est continue ainsi : on se donne $y\in \mathbb R$, en restreignant $f$ sur un compact $K$ tel que $f(K)$ soit un voisinage de $y$, on a immédiatement la restriction de $f$ bicontinue, car continue bijective depuis un compact. Ainsi $f^{-1}$ continue en $y$.

Auriez-vous quelques idées ? Merci d'avance !
PCSI
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Re: Homeomorphisme entre suites réelles denses

Message par autobox » 08 mars 2021 17:49

Voici comment j'aurais fait

Soit F l'ensemble des fonctions strictement croissantes à domaine et codomaine finis inclus respectivement dans A et B. Elles sont en particulier injectives, puisque strictement croissantes... Je suppose que tu ne sais pas ce qu'est un codomaine, alors remplace le par le mot "image". Je noterai quand même codom(f) pour im(f) dans la suite :D

On commence par un lemme : pour toute $ f\in F $, et tout $ a\in A $, il existe $ g\in F $ qui prolonge $ f $ et telle que $ dom(g) = dom(f)\cup\{a\} $
Preuve : si $ a\in dom(f) $, on prend $ g = f $. Sinon, trois cas, dont deux traités similairement.
- ou bien $ a < \inf dom(f) $. Alors puisque B est non minoré (car dense dans R), il existe $ b\in B $ tel que $ b < \inf codom(f) $ (les inf sont des mins, je rappelle que les domaines sont finis). On définit $ g(a) = b $ et on a notre prolongement qui respecte l'ordre.
- ou bien $ a > \sup dom(f) $ et on choisira cette fois un $ b>\sup codom(f) $ et on fait pareil
- ou bien $ \inf dom(f) < a < \sup dom(f) $. Dans ce cas, il existe x et y tq $ x<a<y $, et $ x'=f(x) < y'=f(y) $. On choisira comme image de a un b entre x' et y' (ce qui est possible grâce à la densité de B, et compatible avec le TVI !)
Cette construction dépend du choix de b, mais comme B est dense le résultat final (celui qui nous intéresse) on s'en fiche un peu (peu importe l'ordre dans lequel on fait les choses). Si tu ne crois pas à l'axiome du choix, tu peux décider (dans les trois cas) de prendre $ b = b_k $, où k est le plus petit indice tel que que $ b_k $ n'a pas encore été associé à une préimage (voir la construction de f au dernier paragraphe pour les précisions).


De même, pour tous $ f\in F $ et $ b\in B $, on peut trouver un prolongement g de f tel que $ codom(g) = codom(f)\cup\{b\} $.


Ensuite, on prend n'importe quelle fonction $ f_{0,0} $ de F définie sur $ \{a_0\} $, et on construit $ f_{0,1} $ un prolongement tel que $ b_0\in codom(f_{0,1}) $ (ou plutôt un bon $ b_k $, avec k comme je disais précédemment, pour assurer l'injectivité. Tu peux l'appeler $ b_0 $, ce qui revient (a posteriori) à remplacer b par une permutation de b).
On le prolonge en $ f_{1,0} $ tq $ a_1\in dom(f_{1,0}) $ puis $ f_{1,1} $ tq $ b_1\in codom(f_{1,1}) $.
Et ainsi de suite, par récurrence, des prolongements $ f_{n,0} $ et $ f_{n,1} $ pour tout $ n $.
A et B étant dénombrables, ce procédé s'arrête après un nombre ordinal dénombrable d'étapes et on obtient une fonction $ f $ qui est un isomorphisme entre A et B, strictement croissant.

Sa surjectivité vient de l'entrelacement des $ a_i \in dom $ et des $ b_i\in codom $
Par densité, on peut le prolonger en un (unique) homéomorphisme de R dans R.


Précision du dernier prolongement :
SPOILER:
il existe une unique fonction continue strictement croissante (donc injective) sur R qui coincide avec f sur A. On l'appelle g. Son image est l'adhérence de f(A) = B, c'est-à-dire R. En effet, pour tout x dans R = adh(B), il existe une suite $ (b_n) $ d'éléments de B qui tend vers x. Or, par surjectivité de f, il existe une suite $ (a_n) $ telle que g(a) = f(a) = b. On a donc $ g(a_n) \to x $. Par injectivité et continuité de g, $ (a_n) $ a une limite $ u\in\mathbb{R} $, finie. Enfin, par continuité de g et unicité de la limite dans un espace métrique, $ g(u) = \lim g(a_n) = x $ et g est surjective, donc bijective. Pour vérifier que c'est un homéomorphisme, on construit une bijection continue strictement croissante h par prolongement de $ f^{-1} $ et on constate que $ h(g(u)) = \lim h(g(a_n)) = \lim f^{-1}(f(a_n)) = \lim a_n = u $ (parce que h coincide avec $ f^{-1} $ sur B, et g avec f sur A), et même chose pour g(h(v)) pour tout v. h est donc l'inverse de g.

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Re: Homeomorphisme entre suites réelles denses

Message par Mourien » 08 mars 2021 21:27

C'est très malin cette définition en choisissant un antécédent pour la surjectivité ! :wink:

Pour le prolongement, je n'ai pas très bien compris ta preuve : il me semble plus simple de poser pour $x\not\in A$, $f(x): = \underset{a\in A, a<x} {sup} f(a) < f(a')$, où par densité $a'>x$, puis de montrer "à la main" que $ f $ est continue, par caractérisation séquentielle.

Merci beaucoup en tout cas !
PCSI
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Re: Homeomorphisme entre suites réelles denses

Message par autobox » 09 mars 2021 11:45

Oui, ça c'est la fonction g, mais il faut quand même montrer qu'elle est surjective (ce que je fais dans le spoiler) et strictement croissante (pas trivial).
Aussi, il faudrait plutôt prendre le sup sur les $ a\in A, a\leqslant x $, pour que ta définition coincide plus naturellement avec celle de f sur A. Ca ne fait pas tomber la stricte croissance parce que si a'>x, il existe (densité) $ a\in A $ tq a'>a>x. Donc pour tout $ a_n\in A, a_n\leqslant x $, $ a_n<a\implies f(a_n)<f(a) $. Quand tu prends une suite $ (a_n) $ qui tend vers x (caractérisation séquentielle du sup), et après avoir montré la continuité de f sur $ \mathbb{R} $, tu trouves $ f(x)\leqslant f(a) < f(a') $ en passant à la limite, d'où la stricte croissance sur $ \mathbb{R} $

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