DM Vecteur aléatoires

[KB9Droitobut]

Bonjour, actuellement en école d'ingé, j'ai 2 exos à faire, ca fait des jours qu'on est dessus, impossible d'y arriver. Si qlqn a des pistes je suis preneur

Considérons le processus aléatoire (Xt)t∈Z défini par
Xt = α cos (2πν0t + Θ),
où ν0 ∈]0,1/2[, et où Θ est une v.a.r. à valeurs dans [0, 2π], dont la fonction caractéristique est
notée ϕ, i.e.
ϕ(u) = E[e(iΘu)]

1. Montrer que le processus (Xt)t∈Z est stationnaire au second ordre si et seulement si
ϕ(1) = ϕ(2) = 0
et donner l’expression de la moyenne et de la fonction de covariance.
2. Montrer que la loi U([0, 2π]) (loi uniforme sur [0, 2π]) vérifie la condition (1), et
représenter graphiquement la densité de probabilité associée.
3. Montrer que (Xt)t∈Z est ergodique au sens de la moyenne.

KBnueve

[autobox]

Tu ne nous dis pas où tu bloques, à quelle question ?
Je t'aide pour la 1) : $ \cos(x) = \dfrac{\exp(ix)+\exp(i(-x))}{2} $, pour tout x. Ecris une égalité presque-sûre et intègre la pour trouver pour tout t, $ E(X_t) = \alpha_t\phi(u_t)+\beta_t\phi(-u_t) $, avec $ u_t,\alpha_t,\beta_t $ déterministes que je te laisse chercher. Ils ne dépendent pas forcément tous de t
Ensuite pour les covariances, même principe