Produit de matrices triangulaires sup strictes
Produit de matrices triangulaires sup strictes
Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe un moyen plus simple que de calculer coefficient par coefficient de montrer que le produit de n matrices triangulaires supérieures strictes est nul (par exemple avec des considérations de rang ou qq chose du genre) ,et si oui, auriez- vous l'amabilité de m'en faire part.
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
$ $Bonjour,
Tu prends $B=(e_1,\dots,e_n)$ base dans laquelle tu as $Mat_B(u_1)=M_1,\dots,Mat_B(u_n)=M_n$ avec $M_1,\dots,M_n$ tes matrices triangulaires supérieures. Il suffit de montrer que $u = u_1 \circ u_2 \circ \dots \circ u_n$ annule $e_1,\dots,e_n$ pour conclure. Pour cela il suffit de remarquer que tu as pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ et pour tout entier $k$ entre $2$ et $n$, $u_j(e_k) \in \mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})$ et $u(e_1)=0$. Dès lors tu peux par exemple montrer par récurrence finie sur $k$ que pour tout $k$ entre $1$ et $n$ tu as $u_{n-k+1} \circ \dots \circ u_n(e_k)=0$ ce qui conclut.
Pour rédiger assez rapidement, tu peux sinon faire une récurrence sur la taille $n$ des matrices en utilisant un produit par bloc (avec pour blocs le coefficient tout en haut à gauche et la matrice $(n-1) * (n-1)$ tout en bas à droite), c'est peut-être un peu plus rapide à rédiger.
Bon courage.
Tu prends $B=(e_1,\dots,e_n)$ base dans laquelle tu as $Mat_B(u_1)=M_1,\dots,Mat_B(u_n)=M_n$ avec $M_1,\dots,M_n$ tes matrices triangulaires supérieures. Il suffit de montrer que $u = u_1 \circ u_2 \circ \dots \circ u_n$ annule $e_1,\dots,e_n$ pour conclure. Pour cela il suffit de remarquer que tu as pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ et pour tout entier $k$ entre $2$ et $n$, $u_j(e_k) \in \mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})$ et $u(e_1)=0$. Dès lors tu peux par exemple montrer par récurrence finie sur $k$ que pour tout $k$ entre $1$ et $n$ tu as $u_{n-k+1} \circ \dots \circ u_n(e_k)=0$ ce qui conclut.
Pour rédiger assez rapidement, tu peux sinon faire une récurrence sur la taille $n$ des matrices en utilisant un produit par bloc (avec pour blocs le coefficient tout en haut à gauche et la matrice $(n-1) * (n-1)$ tout en bas à droite), c'est peut-être un peu plus rapide à rédiger.
Bon courage.
Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
Merci beaucoup. On m'a également suggéré de montrer que la multiplication par une matrice nilpotente diminue le rang d'au moins 1, ce qui permet de conclure assez rapidement également.
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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
$ $Bonjour,
Je ne vois pas exactement comment on t'a dit de t'y prendre, mais je voulais juste m'assurer que tu sais que le résultat que tu cites, s'il est sous la forme suivante :
Soient $A$ dans $M_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{N}$ nilpotente dans $M_n(\mathbb{R})$. Alors $rg(\mathcal{N}A) < rg(A)$
est faux (prendre pour $\mathcal{N}$ un bloc de Jordan de taille $n$ et pour $A$ la transposée de $\mathcal{N}$, ces deux matrices, ainsi que leur produit, sont de rang $n-1$ - par ailleurs, ce contre-exemple montre que l'énoncé au-dessus reste faux si on ajoute l'hypothèse de la nilpotence de $A$).
Tu l'avais peut-être (sûrement ?) vu mais je voulais être sûr de t'éviter toute déconvenue.
Bonne soirée.
Je ne vois pas exactement comment on t'a dit de t'y prendre, mais je voulais juste m'assurer que tu sais que le résultat que tu cites, s'il est sous la forme suivante :
Soient $A$ dans $M_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{N}$ nilpotente dans $M_n(\mathbb{R})$. Alors $rg(\mathcal{N}A) < rg(A)$
est faux (prendre pour $\mathcal{N}$ un bloc de Jordan de taille $n$ et pour $A$ la transposée de $\mathcal{N}$, ces deux matrices, ainsi que leur produit, sont de rang $n-1$ - par ailleurs, ce contre-exemple montre que l'énoncé au-dessus reste faux si on ajoute l'hypothèse de la nilpotence de $A$).
Tu l'avais peut-être (sûrement ?) vu mais je voulais être sûr de t'éviter toute déconvenue.
Bonne soirée.
Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
Le résultat auquel nous pensons tous est :
"Si $ A,B\in M_n(K) $ sont deux matrices vérifiant $ A\neq 0 $, $ AB = BA $ et $ B $ nilpotente, alors $ \textrm{rg}(AB)<\textrm{rg}(A) $"
Preuve facile, par l'absurde, en considérant la restriction à Im(A) de l'endomorphisme de multiplication par B, qui serait injective (théorème du rang) mais aurait une itérée nulle (correspondant à l'indice de nilpotence de B) si ce n'était pas le cas ; ce qui est absurde.
Ca implique effectivement par récurrence immédiate que tout produit de n matrices nilpotentes qui commutent est nul.
"Si $ A,B\in M_n(K) $ sont deux matrices vérifiant $ A\neq 0 $, $ AB = BA $ et $ B $ nilpotente, alors $ \textrm{rg}(AB)<\textrm{rg}(A) $"
Preuve facile, par l'absurde, en considérant la restriction à Im(A) de l'endomorphisme de multiplication par B, qui serait injective (théorème du rang) mais aurait une itérée nulle (correspondant à l'indice de nilpotence de B) si ce n'était pas le cas ; ce qui est absurde.
Ca implique effectivement par récurrence immédiate que tout produit de n matrices nilpotentes qui commutent est nul.
Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
Merci beaucoup, je ne connaissais pas ce résultat.
Je ne comprends néanmoins pas comment on a l'hypothèse de commutation, je ne crois pas qu'elle soit donnée dans l'exercice posé à l'origine par Tamador.
Je ne comprends néanmoins pas comment on a l'hypothèse de commutation, je ne crois pas qu'elle soit donnée dans l'exercice posé à l'origine par Tamador.
Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes
Effectivement j’avais oublié cette hypothèse, merci !
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