Produit de matrices triangulaires sup strictes

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Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Tamador195 » 09 avr. 2021 11:56

Bonjour, j'aimerais savoir s'il existe un moyen plus simple que de calculer coefficient par coefficient de montrer que le produit de n matrices triangulaires supérieures strictes est nul (par exemple avec des considérations de rang ou qq chose du genre) ,et si oui, auriez- vous l'amabilité de m'en faire part.
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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Inversion » 09 avr. 2021 13:33

$ $Bonjour,

Tu prends $B=(e_1,\dots,e_n)$ base dans laquelle tu as $Mat_B(u_1)=M_1,\dots,Mat_B(u_n)=M_n$ avec $M_1,\dots,M_n$ tes matrices triangulaires supérieures. Il suffit de montrer que $u = u_1 \circ u_2 \circ \dots \circ u_n$ annule $e_1,\dots,e_n$ pour conclure. Pour cela il suffit de remarquer que tu as pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ et pour tout entier $k$ entre $2$ et $n$, $u_j(e_k) \in \mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_{k-1})$ et $u(e_1)=0$. Dès lors tu peux par exemple montrer par récurrence finie sur $k$ que pour tout $k$ entre $1$ et $n$ tu as $u_{n-k+1} \circ \dots \circ u_n(e_k)=0$ ce qui conclut.

Pour rédiger assez rapidement, tu peux sinon faire une récurrence sur la taille $n$ des matrices en utilisant un produit par bloc (avec pour blocs le coefficient tout en haut à gauche et la matrice $(n-1) * (n-1)$ tout en bas à droite), c'est peut-être un peu plus rapide à rédiger.

Bon courage.

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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Tamador195 » 09 avr. 2021 17:19

Merci beaucoup. On m'a également suggéré de montrer que la multiplication par une matrice nilpotente diminue le rang d'au moins 1, ce qui permet de conclure assez rapidement également.
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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Inversion » 09 avr. 2021 18:22

$ $Bonjour,

Je ne vois pas exactement comment on t'a dit de t'y prendre, mais je voulais juste m'assurer que tu sais que le résultat que tu cites, s'il est sous la forme suivante :

Soient $A$ dans $M_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{N}$ nilpotente dans $M_n(\mathbb{R})$. Alors $rg(\mathcal{N}A) < rg(A)$

est faux (prendre pour $\mathcal{N}$ un bloc de Jordan de taille $n$ et pour $A$ la transposée de $\mathcal{N}$, ces deux matrices, ainsi que leur produit, sont de rang $n-1$ - par ailleurs, ce contre-exemple montre que l'énoncé au-dessus reste faux si on ajoute l'hypothèse de la nilpotence de $A$).

Tu l'avais peut-être (sûrement ?) vu mais je voulais être sûr de t'éviter toute déconvenue.

Bonne soirée.

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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par autobox » 09 avr. 2021 19:02

Le résultat auquel nous pensons tous est :

"Si $ A,B\in M_n(K) $ sont deux matrices vérifiant $ A\neq 0 $, $ AB = BA $ et $ B $ nilpotente, alors $ \textrm{rg}(AB)<\textrm{rg}(A) $"

Preuve facile, par l'absurde, en considérant la restriction à Im(A) de l'endomorphisme de multiplication par B, qui serait injective (théorème du rang) mais aurait une itérée nulle (correspondant à l'indice de nilpotence de B) si ce n'était pas le cas ; ce qui est absurde.

Ca implique effectivement par récurrence immédiate que tout produit de n matrices nilpotentes qui commutent est nul.

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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Inversion » 09 avr. 2021 19:09

Merci beaucoup, je ne connaissais pas ce résultat.

Je ne comprends néanmoins pas comment on a l'hypothèse de commutation, je ne crois pas qu'elle soit donnée dans l'exercice posé à l'origine par Tamador.

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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Message par Tamador195 » 09 avr. 2021 20:00

Effectivement j’avais oublié cette hypothèse, merci !
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