Polynôme complexe

[yarama098]

Bonjour,

Soit P ∈ C[X] non constant et tel que P(0) = 1. Montrer que :
∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P(z)| < 1

Une petite idée ? Merci

[Inversion]

Bonjour,

L'énoncé est au voisinage de 0 donc tu as peut-être envie d'utiliser une formule locale.

Je te retourne maintenant la question : une petite idée ?

[yarama098]

J'ai pensé à poser une suite complexe tendant vers 0 aka un complexe /n

[JeanN]

J'ai pensé à poser une suite complexe tendant vers 0 aka un complexe /n

C'est plus compliqué que ça...
Essaye déjà de résoudre ce problème lorsque $P(z)=1+z^4+z^10$ en utilisant la forme trigonométrique des nombres complexes et en choisissant convenablement l'argument.

[yarama098]

D'accord c'est bon merci.
Pour ce polynome, jai choisi la suite zn tq zn= (1/n)*e^( pie/ 4)

P(zn)= 1- (1/n^4)+ o(1/n^4)
Donc pour un certain n suffisamment grand, on a module de p(z) strictement inférieur à 1.

non ?

[JeanN]

Oui, c'est l'idée.
Tu peux maintenant essayer de généraliser.