Pas de souci pour le sens direct. Pour la réciproque, j'ai fait par l'absurde. Et j'arrive à une contradiction moyennant un équivalent que j'intuite mais que je n'arrive pas à démontrer.Soit $ (p_n)_{n\ge 0} $ une suite d'entiers strictement croissante, telle que $ n=o(p_n) $ lorsque $ n\rightarrow +\infty $. Montrer que $ (1-x)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^{p_n} \rightarrow 0 $ lorsque $ x \rightarrow 1^{-} $. Etudier la réciproque.
Mon raisonnement :
On se donne $\varphi$ extractrice telle que $\forall n \ge 0, \varphi(n)\ge \varepsilon p_{\varphi(n)}$ , avec $\varepsilon >0$.
En utilisant la stricte croissance de $(p_n)_{n\ge 0}$, on n'a alors pas mieux comme encadrement que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{\alpha\varphi(n)}\sum_{k=0}^{\varphi(n)-\varphi(n-1)-1}x^{-k}\le\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^{p_n}$ puis,
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^{\alpha\varphi(n)} (x^{-\mu(n)}-1) \le \dfrac{1-x}{x}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}x^{p_n} $
avec $\alpha\varepsilon=1$ et $\forall n\ge0, \mu(n)=\varphi(n)-\varphi(n-1)$ (et en posant $\varphi(-1)=\varphi(0)$).
Or, par une inégalité de convexité, il vient : $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^{\alpha\varphi(n)} (x^{-\mu(n)}-1) \ge -\operatorname{ln}(x)\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(n)x^{\alpha\varphi(n)}=:-\operatorname{ln}(x)S(x)$
Montrons que $S(x)\underset{x\rightarrow 1^{-}}{\sim} I(x):=\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{\alpha t} \operatorname{d} t=\dfrac{\varepsilon}{-\operatorname{ln}(x)}$ C'est cet équivalent que je présume.
D'où une absurdité.
Il suit alors que la condition est nécessaire.
Pour montrer l'équivalent, je n'ai pas mieux que cette inégalité, mais après je bloque...
$\Delta(x):=S(x)-I(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(n)(x^{\alpha\varphi(n-1)}-x^{\alpha\varphi(n)})\le \alpha \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\mu(n)^2x^{\alpha\varphi(n-1)}$
en utilisant à nouveau une inégalité de convexité.
On aimerait que $\Delta(x)$ soit un $o(I(x))$
Merci d'avance !
