AIDE SUJET MATH ECS ALGEBRE LINEAIRE

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 10 mai 2021 11:23

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

AIDE SUJET MATH ECS ALGEBRE LINEAIRE

Message par toltoy » 10 mai 2021 11:27

Bonjour à toutes et tous.
J'ai du mal avec un DM dont je vous mets le lien ci-dessous.
En particulier le lien entre polynome annulateur et supplémentarité.
QQun pourrait il m'aider?
Merci

https://www.nicehost.fr/herve.fabbro/wp ... -dm-12.pdf


On note u et f les endomorphismes de R
4
suivants :
u : R
4 −→ R
4
(x, y, z, t) 7−→ (x + y, −x − y, −z + t, z − t)
f : R
4 −→ R
4
(x, y, z, t) 7−→ (0, 0, −z + t, z − t)
Pour tout entier k strictement positif, u
k désigne l’application u ◦ u ◦ u ◦ · · · ◦ u (k fois) et u
0 désigne l’application
identique de R
4
, notée idR4 . On note 0 l’endomorphisme identiquement nul de R
4
.
1. (a) Déterminer une base de Ker (u).
(b) Déterminer une base de Im (u).
(c) Les sous-espaces vectoriels Ker (u) et Im (u) de R
4
sont-ils supplémentaires ?
2. (a) Montrer que : ∀p > 2, up = (−2)p−1f.
(b) En déduire un polynôme annulateur unitaire de degré minimal de u.
(c) En déduire que R
4 = Ker (u
2
) ⊕ Im (u
2
).
(d) Exprimer en fonction de u la projection p sur Ker (u
2
) parallèlement à Im (u
2
).
(e) Soit k > 2.
Comparer Ker (u
k
) et Ker (u
2
), puis Im (u
k
) et Im (u
2
). A-t-on R
4 = Ker (u
k
) ⊕ Im (u
k
) ?
Soit d l’endomorphisme de R[X] suivant :
d : R[X] −→ R[X]
P 7−→ P
0
3. (a) L’endomorphisme d est-il injectif ? Est-il surjectif ?
(b) Déterminer Ker (d
q
) pour tout q ∈ N

.
(c) Soit q ∈ N

. A-t-on R[X] = Ker (d
q
) ⊕ Im (d
q
) ?

Messages : 2470

Inscription : 27 juil. 2016 19:38

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: AIDE SUJET MATH ECS ALGEBRE LINEAIRE

Message par U46406 » 10 mai 2021 11:41

Enlève les majuscules pour commencer :
> AIDE SUJET MATH ECS ALGEBRE LINEAIRE

( partout sauf à ECS )


aide sujet math ECS algèbre linéaire
« Occupez-vous d’abord des choses qui sont à portée de main. Rangez votre chambre avant de sauver le monde. Ensuite, sauvez le monde. » (Ron Padgett, dans Comment devenir parfait) :mrgreen:

Verrouillé